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[[환론]]에서, '''축소환'''(縮小環, {{llang|en|reduced ring}})은 0이 아닌 [[멱영원]]을 갖지 않는 환이다. 즉, 0이 아닌 원소의 제곱이 항상 0이 아닌 환이다.
 
== 정의 ==
축소환의 개념은 [[대수기하학]]에서 중요한 역할을 한다.
(곱셈 단위원을 갖는) [[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[환 (수학)|환]]을 '''축소환'''이라고 한다.
* 임의의 0이 아닌 원소 <math>r\in R\setminus\{0\}</math> 및 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, <math>r^n\ne0</math>이다.
* (유한 개 또는 무한 개의) [[영역 (환론)|영역]]들의 [[직접곱]]의 [[부분환]]이다.<ref name="Lam">{{서적 인용|제목=A first course in noncommutative rings|성 = Lam|이름=Tsit-Yuen|저자고리=람짓윈 | 출판사=Springer|날짜 = 2001|isbn =978-0-387-95183-6|doi=10.1007/978-1-4419-8616-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=131|issn=0072-5285|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|207, Theorem (12.7)}} (0개의 환의 [[직접곱]]은 [[자명환]]이다.)
 
== 성질 ==
다음 함의 관계가 성립한다.<ref name="Lam"/>{{rp|153}}
{| style="text-align:center"
| [[체 (수학)|체]] || ⇒ || [[정역]]
|-
| ⇓ || || ⇓ || ⇘
|-
|[[나눗셈환]] || ⇒ || [[영역 (환론)|영역]] || ⇒ || 축소환
|-
| ⇓ || || ⇓ || || ⇓
|-
| 左·右 [[원시환]] || ⇒ || [[소환 (환론)|소환]] || ⇒ || [[반소환]]
|}
 
[[가환환]]의 경우, 이 함의는 다음과 같이 단순해진다.
{| style="text-align:center"
| [[체 (수학)|체]] || || [[정역]]
|-
| ⇕ || || ⇕
|-
|[[나눗셈환]] || ⇒ || [[영역 (환론)|영역]] || ⇒ || 축소환
|-
| ⇕ || || ⇕ || || ⇕
|-
| 左·右 [[원시환]] || || [[소환 (환론)|소환]] || || [[반소환]]
|}
 
== 예 ==
축소환들은 부분환·[[직접곱]]·[[국소화 (환론)|국소화]]에 대하여 닫혀 있다. 즉, 축소환의 부분환·[[국소화 (환론)|국소화]] 및 축소환들의 곱 역시 축소환이다.
 
모든 [[정역]]은 축소환이다. 즉, [[정수환]] <math>\mathbb Z</math>이나 모든 [[체 (수학)|체]]는 축소환이다. 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, <math>\mathbb Z\times\mathbb Z</math>는 정역이 아니지만 축소환이다.
 
축소환이 아닌 환으로는 예를 들어 체 <math>K</math>에 대하여 <math>K[x]/(x^n)</math> (<math>n>0</math>)가 있다. 이 경우, <math>(x^{n-1})^2=0</math>이므로 <math>x^{n-1}</math>은 멱영원을 이룬다.
 
<math>\mathbb Z/n\mathbb Z</math>가 축소환일 필요충분조건은 <math>n</math>이 제곱인자를 갖지 않는 것이다.
 
== 축소 스킴 ==
축소환의 개념은 [[대수기하학]]에서 중요한 역할을 한다. 대수기하학에서, 멱영원은 무한소 함수로 해석된다. 즉, 거듭제곱을 하면 0이 되는 (즉, 무시할 수 있는) 무한소의 값을 갖는 함수이다.
 
'''축소 아핀 스킴'''({{llang|en|reduced affine scheme}})은 축소환의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]과 동형인 [[아핀 스킴]]이다. '''축소 스킴'''({{llang|en|reduced scheme}})은 축소 아핀 스킴으로 덮을 수 있는 스킴이다.
 
모든 [[대수다양체]]는 (정의에 따라) 축소 스킴을 이룬다.
 
== 참고 문헌 ==
{{각주}}
 
== 바깥 고리 ==
* {{eom|title=Reduced scheme}}
* {{웹 인용|url=https://ysharifi.wordpress.com/2010/06/04/about-reduced-rings-1/|날짜=2010-06-04|제목=About reduced rings (1)|이름=Yaghoub|성=Sharifi|웹사이트=Abstract Algebra|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://ysharifi.wordpress.com/2010/06/04/about-reduced-rings-2/|날짜=2010-06-04|제목=About reduced rings (2)|이름=Yaghoub|성=Sharifi|웹사이트=Abstract Algebra|언어=en}}
 
{{토막글|수학}}
[[분류:환론]]