"계차수열"의 두 판 사이의 차이

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[[수학]]에서, [[수열]]의 '''계차수열'''(階差數列)은 그 수열의 인접하는 두 항의 차로 이루어지는 [[수열]]이다수열이다. 예를 들어 수열 {{수학|1, 4, 9, 16, ... , ''n''<sup>2</sup>, ...}}의 계차수열은 {{수학|4 - 1, 9 - 4, 16 - 9, ... , (''n'' + 1)<sup>2</sup> - ''n''<sup>2</sup>, ...}}, 즉 {{수학|3, 5, 7, ... , 2''n'' + 1, ...}}과 같다. 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}의 계차수열의 일반항은 {{수학|''a''<sub>''n''+1</sub> - ''a<sub>n</sub>''}}이다.
 
:{{수학|1, 4, 9, 16, ... , ''n''<sup>2</sup>, ...}}
 
의 계차수열은
 
:{{수학|3, 5, 7, ... , 2''n'' + 1, ...}}
 
*과 같다. 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}} [[단조증가]]할계차수열의 [[필요충분조건일반항]]은 {{수학|Δ ''a''<sub>''n''+1</sub>'' - 0}}이 모든 {{수학|''a<sub>n</sub>''}}에게 성립하는 것이다이다.
 
계차수열은 [[등차수열]], 나아가 고계등차수열을 정의하는 데에 쓸 수 있다.
수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}의 '''계차수열'''은 다음과 같은 수열 {{수학|{Δ''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}이다.<ref name="WQ">{{저널 인용|저자=吴强|연도=2008|편집자=张飞羽|제목=阶差数列的几个性质及其应用|번역제목=계차수열의 몇가지 성질과 그 응용|언어=zh|저널=河西学院学报|호=2|총서=24|쪽=6–9}}</ref>
 
:<math>\Delta a_n = a_{n+1} - a_n</math>
 
또, {{수학|{Δ''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}의 계차수열
 
:<math>\Delta(\, \Delta a_n) = \Delta a_{n+1} - \Delta a_n = a_{n+2} - 2a_{n+1} + a_n</math>
 
을 '''이계차수열'''이라고 하고, {{수학|{Δ<sup>2</sup>''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}으로 표기한다.
 
비슷하게 임의의 자연수 {{수학|''k''}}에 대하여 '''{{수학|''k''}}계차수열''' {{수학|{Δ''<sup>k</sup>a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}} 정의할다음과 같이 있다정의된다.<ref name="WQ" />
 
:<math>\Delta^k a_n = \beginunderbrace{cases\Delta\, \Delta\, \cdots\, \Delta}_k a_n</math>
a_n, & k=0 \\
\Delta(\Delta^{k-1}a_n)=\Delta^{k-1}a_{n+1}-\Delta^{k-1}a_n, & k\ge 1
\end{cases}</math>
 
또는 ([[점화식]]을 써서)<ref name="WQ" />
위에서 알 수 있듯이, {{수학|''a<sub>n</sub>''}}의 0계차수열은 자기 자신, 일계차수열은 {{수학|Δ''a<sub>n</sub>''}}이다.
 
:<math>\Delta^0 a_n = a_n ;</math>
 
\Delta(:<math>\Delta^{k-+1} a_n) = \Delta\, \Delta^{k-1} a_n = \Delta^k a_{n+1} - \Delta^{k-1}a_n, & k\ge 1a_n</math>
 
위에서 알 수 있듯이, {{수학|''a<sub>n</sub>''}}의 0계차수열은영계차수열은 자기 자신, 일계차수열은 {{수학|Δ''a<sub>n</sub>''}}이다.
 
== 예 ==
* 수열 {{수학|1, 3, 5, 7, ...}}과 {{수학|2, 4, 6, 8, ...}}의 계차수열은 모두 {{수학|2, 2, 2, 2, ...}}이다.
* 수열 {{수학|1, {{수직 분수|2}}, {{수직 분수|3}}, {{수직 분수|4}}, ...}}의 계차수열은 {{수학|{{수직 분수|1 × 2}}, {{수직 분수|2 × 3}}, {{수직 분수|3 × 4}}, ...}}이다.
* 수열 {{수학|9, 99, 999, 9999, ...}}의 계차수열은 {{수학|90, 900, 9000, ...}}이다. 이계차수열은 {{수학|810, 8100, ...}}이다.
* [[피보나치 수열]] {{수학|1, 1, 2, 3, 5, 8, ...}}의 계차수열은 {{수학|0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...}}(피보나치, 수열 앞에0 0을하나를 앞에 붙인 것)이다것과 같다.
* 등차수열 {{수학|1=''a<sub>n</sub>'', ''a'' += ''d'', ''apn'' + 2''dq'', ...}}의 계차수열은 [[상수열]] {{수학|1=Δ''da<sub>n</sub>'', ''d'',= ''dp'', ...}}이다. 특별히, 상수열 {{수학|1=''ca<sub>n</sub>'', ''c'',= ''c'', ...}}의 계차수열은 0,영수열 0,{{수학|1=Δ''a<sub>n</sub>'' 0,= ...0}}이다.
* [[조화수열]] {{수학|1=''a<sub>n</sub>'' = {{수직 분수|''pn'' + ''q''}}}}의 계차수열은 {{수학|1=Δ''a<sub>n</sub>'' = {{수직 분수|''p''|(''pn'' + ''q'')(''pn'' + ''p'' + ''q'')}}}}이다.
* 주어진 수열 {{수학|''a<sub>n</sub>''}}의 합 {{수학|1=''S<sub>n</sub>'' = ''a<sub>1</sub>'' + … + ''a<sub>n</sub>''}}의 계차수열은 {{수학|''a<sub>2</sub>'', ''a<sub>3</sub>'', ''a<sub>4</sub>'', ...}}이다.
* 등차수열 {{수학|''a'', ''a'' + ''d'', ''a'' + 2''d'', ...}}의 계차수열은 상수열 {{수학|''d'', ''d'', ''d'', ...}}이다. 특별히, 상수열 {{수학|''c'', ''c'', ''c'', ...}}의 계차수열은 0, 0, 0, ...이다.
 
== 성질 ==
* 임의의 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}} 그의초항과 계차수열일계차수열 {{수학|{Δ''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}에 대하여, 다음의의해 관계가유일하게 성립한다결정된다.
*:<math>a_n=a_1+\Delta a_1+\Delta a_2+\cdots+\Delta a_{n-1}=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\Delta a_k</math>
 
* 다만, 위에 적은 홀수열 {{수학|1, 3, ...}}과 짝수열 {{수학|2, 4, ...}}처럼, 일계차수열이 같더라도, 수열의 초항이 다르면 다른 수열이 된다.
:<math>a_n=a_1+\Delta a_1+\Delta a_2+\cdots+\Delta a_{n-1}=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\Delta a_k</math>
즉, 수열은 초항과 일계차수열에 의해 확정된다.* 더 나아가, 수열은 모든 계수(0, 1, 2, ...)의 계차수열의 초항에 의해 다음과 같은같이 방식으로유일하게 확정된다결정된다.<ref name="WQ" />
 
*:<math>a_n={n-1\choose 0}a_1+{n-1\choose 1}\Delta a_1+{n-1\choose 2}\Delta^2 a_1+\cdots+{n-1\choose n-1}\Delta^{n-1}a_1=\sum_{k=0}^{n-1}{n-1\choose k}\Delta^k a_1</math>
즉, 수열은 초항과 일계차수열에 의해 확정된다. 더 나아가, 수열은 모든 계수(0, 1, 2, ...)의 계차수열의 초항에 의해 다음과 같은 방식으로 확정된다.<ref name="WQ" />
: 여기서 <math>\textstyle{n-1\choose k}</math>는 {{수학|''n'' - 1}}의 대상 중에서 {{수학|''k''}} 개를 고른 [[조합수]]이다.
 
* [[단조수열|수열의 단조성]]은 계차수열을 이용해 기술할 수 있다. 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}이 [[단조증가]]할 [[필요충분조건]]은 {{수학|Δ ''a<sub>n</sub>'' ≥ 0}}이 모든 {{수학|''n''}}에게 성립하는 것이다. 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}이 [[단조감소]]할 필요충분조건은, {{수학|Δ ''a<sub>n</sub>'' ≤ 0}}이 모든 {{수학|''n''}}에게 성립하는 것이다.
:<math>a_n={n-1\choose 0}a_1+{n-1\choose 1}\Delta a_1+{n-1\choose 2}\Delta^2 a_1+\cdots+{n-1\choose n-1}\Delta^{n-1}a_1=\sum_{k=0}^{n-1}{n-1\choose k}\Delta^k a_1</math>
* [[아벨 변환]]
 
* [[슈톨츠-체사로 정리]]
여기서 <math>\textstyle{n-1\choose k}</math>는 {{수학|''n'' - 1}}의 대상 중에서 {{수학|''k''}} 개를 고른 [[조합수]]이다.
 
다만, 위에 적은 홀수열 {{수학|1, 3, ...}}과 짝수열 {{수학|2, 4, ...}}처럼 일계차수열이 같더라도, 수열의 초항이 다르면 다른 수열이 된다.
 
수열의 단조성은 계차수열과 연관있다.
* 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}이 [[단조증가]]할 [[필요충분조건]]은 {{수학|Δ ''a<sub>n</sub>'' ≥ 0}}이 모든 {{수학|''n''}}에게 성립하는 것이다.
* 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}이 [[단조감소]]할 필요충분조건은, {{수학|Δ ''a<sub>n</sub>'' ≤ 0}}이 모든 {{수학|''n''}}에게 성립하는 것이다.
 
== 고계등차수열 ==
 
[[분류:수열]]
[[분류:초등 수학유한차분법]]