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* <math>R</math> 위의 모든 [[왼쪽 가군]]이 [[자유 가군]]이며, <math>R</math>는 [[자명환]]이 아니다.
* <math>R</math> 위의 모든 [[오른쪽 가군]]이 [[자유 가군]]이며, <math>R</math>는 [[자명환]]이 아니다.
[[단순환]] <math>A</math>의 [[환의 중심|중심]] <math>\operatorname Z(A)</math>은 항상 [[체 (수학)|체]]이다. (이는 임의의 <math>a\in A</math>에 대하여, <math>a\ne0</math>이라면 [[주 아이디얼]] <math>(a)=A</math>이므로 <math>a</math>가 [[가역원]]이기 때문이다.) [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[단위 결합 대수]] <math>A</math> 가운데 다음 세 조건을 만족시키는 것을 <math>K</math> 위의 '''중심 단순 대수'''(中心單純代數, {{llang|en|central simple algebra}})라고 한다.
* <math>A</math>는 [[단순환]]이다.
* <math>\dim_KA</math>는 유한하다. 즉, <math>K</math> 위의 유한 차원 단위 결합 대수이다.
* <math>\operatorname Z(A)=K</math>이다. 즉, [[환의 중심|중심]]이 정확하게 <math>K</math>이다.
== 성질 ==
나눗셈환의 [[환의 중심|중심]]은 [[체 (수학)|체]]를 이룬다. 즉, 나눗셈환은 스스로의 중심 위의 [[단위 결합 대수]]를 이룬다.
따라서, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.
:[[체 (수학)|체]] = [[가환환]] ∩ 나눗셈환 ⊊ 나눗셈환 ⊊ [[단순환]] ∩ [[국소환]] ⊊ [[환 (수학)|환]]
=== 가군과 아이디얼 ===
나눗셈환에서는 [[왼쪽 아이디얼]] · [[오른쪽 아이디얼]] · [[양쪽 아이디얼]]의 개념이 일치하며, 영 아이디얼 <math>(0)</math>과 전체 아이디얼 <math>R</math>밖에 없다. 따라서, 나눗셈환은 자명하게 [[아르틴 환]]이자 [[뇌터 환]]이다.
=== 스콜렘-뇌터화뤄겅 정리 ===
체나눗셈환 <math>KD</math> 위의속의 두 [[단순환|단순가역원]] 대수 <math>A</math>와a,b\in 중심 단순 대수 <math>BD\setminus\{0,1\}</math>가에 주어졌다고 하자.대하여, '''스콜렘-뇌터화뤄겅 정리항등식'''({{llang|en|Skolem–NoetherHua’s theoremidentity}})에은 따르면,다음과 임의의 두 <math>K</math>-[[단위 결합 대수]] [[준동형]]같다.
:<math>f,ga-\colon A\to Bfrac1{1/a+(1/b-a)^{-1}}=aba</math>
이 항등식은 다음과 같이 간단하게 증명할 수 있다.
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 [[가역원]] <math>b\in\operatorname{Unit}(B)</math>이 존재한다.
:<math>g(a - aba)\left(\frac1a + \frac1{b^{-1} - a}\right) =bf ab\left(\frac1b - a\right)\left(\frac1a + \frac1{b^{-1}\qquad\forall - a}\inright) A= 1</math>
이를 사용하여, 다음과 같은 '''화뤄겅 정리'''({{llang|en|Hua’s theorem}})를 증명할 수 있다. 두 나눗셈환 사이의 [[함수]] <math>f\colon D\to D'</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
특히, 중심 단순 대수의 모든 [[자기 동형]]은 내부 자기 동형 <math>a\mapsto bab^{-1}</math>이다.
* <math>f</math>는 [[환 준동형]] <math>D\to D'</math> 또는 [[환 준동형]] <math>D\to D'^{\operatorname{op}}</math>을 정의한다. (여기서 <math>(-)^{\operatorname{op}}</math>는 [[반대환]]을 뜻한다.)
* <math>f</math>는 다음 세 조건들을 만족시킨다.
** <math>f(a+b)=f(a)+f(b)</math>
** <math>f(1)=1</math>
** <math>f(a^{-1})=f(a)^{-1}\qquad\forall a\ne0</math>
화뤄겅 항등식과 화뤄겅 정리는 [[화뤄겅]]이 증명하였다.<ref>{{저널 인용|제목=On the Automorphisms of a sfield|이름=Loo-Keng|성=Hua|저자고리=화뤄겅|pmid=16588911|pmc=1063044|저널=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|날짜=1949-07|권=35|호=7|쪽=386-389|doi=10.1073/pnas.35.7.386|언어=en}}</ref>
== 분류 ==
== 역사 ==
브라우어 군은 [[리하르트 브라우어]]가 정의하였다.
1927년에 [[토랄프 스콜렘]]은 스콜렘-뇌터 정리를 발표하였으며,<ref>{{cite journal | jfm=54.0154.02| journal=Skrifter Oslo | year=1927 | number=12 | pages=50 | first=Thoralf | last= Skolem | authorlink=토랄프 스콜렘 | title=Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme |언어=de}}</ref> 1933년에 [[에미 뇌터]]가 독자적으로 재발견하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie|이름=Emmy|성=Noether|저자고리=에미 뇌터|doi=10.1007/BF01187794|저널=Mathematische Zeitschrift|권=30|호=1|쪽=641–692|issn= 0025-5874|언어=de}}</ref><ref>{{서적 인용|장url=https://www.fme.upc.edu/ca/arxius/butlleti-digital/noether/VolNoether-Bayer.pdf|장=Emmy Noether: de l’àlgebra no commutativa a la theoria de nombres|이름=Pilar|성=Bayer|쪽=169–203|출판사=[[카탈루냐 공과대학교]]|제목=Acte Inaugural Curs Noether: The Emmy Noether Heritatge|날짜=2009|언어=ca}}</ref>{{rp|189, §5}}
== 같이 보기 ==
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