"교대급수판정법"의 두 판 사이의 차이

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{{미적분학}}
 
'''교대급수판정법'''(Alternating series test, 交代級數判定法, {{lang|en|alternating series test}})은 [[교대급수]]가 수렴할 조건을 제시하는 [[무한급수의 수렴 판정법]]이다. [[독일]]의 [[고트프리트 라이프니츠]]가 제시하여 '''라이프니츠 판정법'''이라 불리기도 한다.
 
:<math>\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n = a_0 - a_1 + a_2 - \cdots</math>
== 공식화 ==
[[실수]] [[수열]] {a<sub>n</sub>}에 대하여, 교대급수판정법은 다음과 같이 쓸 수 있다.<ref name="a">김락중 외, 《해석학 입문》, 경문사, 2007, 183쪽.</ref>
 
({{수변|a<sub>n</sub>}}은 항상 {{수학|≥ 0}} 또는 항상 {{수학|≤ 0}})에 대한 [[수렴판정법]]으로, 단조롭게 0으로 수렴하는 수열에 의한 교대급수는 반드시 수렴한다고 서술한다. [[고트프리트 라이프니츠]]가 제시하여 '''라이프니츠 판정법'''({{lang|en|Leibniz's test}})이라고도 불린다.
* 만약 {a<sub>n</sub>}이 단조감소하여 0으로 수렴하면, 교대급수 <math>\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^ka_k</math> 는 수렴하고, 수렴값을 s라 할 때 다음 [[부등식]]이 성립한다.
 
* 위 급수의 1항부터 n항까지 부분합 {s<sub>n</sub>}에 대하여, <math>0 < |s_n - s| < a_{n+1}.</math>
[[실수]]== [[수열]] {a<sub>n</sub>}에 대하여, 교대급수판정법은 다음과 같이 쓸 수 있다.서술<ref name="a">김락중 외, 《해석학 입문》, 경문사, 2007, 183쪽.</ref> ==
만약 교대급수 <math>\textstyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n</math>에서 {{수변|a<sub>n</sub>}}이 [[단조감소]]하고 <math>\textstyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0</math>이면, 그 교대급수는 수렴한다.
 
또한, 급수의 합 {{수변|s}}는 부분합 {{수변|s<sub>N</sub>}}에 의해 {{수학|''a''<sub>''N'' + 1</sub>}} 이내의 절단오차로 근사된다.
 
:<math>|s_N - s| \le a_{N+1}</math>
 
== 증명 ==