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교대급수 판정법: 두 판 사이의 차이

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만약 교대급수 <math>\textstyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n</math>에서 {{수변|a<sub>n</sub>}}이 [[단조감소]]하고 <math>\textstyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0</math>이면, 그 교대급수는 수렴한다.
 
또한, 급수의 합 {{수변|sS}}는 부분합 {{수변|sS<sub>N</sub>}}에 의해 {{수학|''a''<sub>''N'' + 1</sub>}} 이내의 절단오차로 근사된다.
 
:<math>|s_NS_N - sS| \le a_{N+1}</math>
 
== 증명 ==
{{수학|''S''<sub>2''m'' + 1</sub>}}과 {{수학|''S''<sub>2''m''</sub>}}은 각각 증가, 감소한다:
[[아벨 변환]]이나 [[디리클레 판정법]]을 응용하여 수렴성은 쉽게 증명할 수 있다. 부등식은 다음과 같이 증명한다. 먼저 n이 [[짝수]]일 때(n=2m) s<sub>n</sub> - s에 대하여,
 
: <math>0 \le (a_S_{2mN+12} - a_{2m+2})S_N += (a_{2m+3} - a_{2m+4}1) + ... = a_^{2mN+1} - (a_{2mN+21} - a_{2mN+32}) - ... \le a_{2m+1}.</math>
 
모든 {{수변|a<sub>N</sub>}}이 {{수학|≥ 0}}이므로:
이 성립한다. 반대로 n이 [[홀수]]일 때도 마찬가지 기법으로 <math>0 \ge s_n - s \ge a_{n+1}</math> 을 증명할 수 있다.<ref name="a"/>
 
:<math>S_{2m+1} = S_{2m} - a_{2m+1} \le S_{2m}</math>
 
따라서 이들을 종합하여 다음을 얻는다:
 
:<math>S_1 \le S_3 \le S_5 \le \cdots \le S_4 \le S_2 \le S_0</math>
 
[[단조수렴정리]]에 의해 {{수학|''S''<sub>2''m'' + 1</sub>}}과 {{수학|''S''<sub>2''m''</sub>}} 모두 수렴한다. 물론 극한은 같다:
 
:<math>\lim_{m\to\infty} (S_{2m} - S_{2m+1}) = \lim_{m\to\infty} a_{2m+1} = 0</math>
 
이에 따라 급수는 {{수학|''S''<sub>2''m'' + 1</sub>}}의 [[상한과 하한|상한]]이자 {{수학|''S''<sub>2''m''</sub>}}의 [[상한과 하한|하한]]인 {{수변|S}}로 수렴한다.
 
절단오차의 상계는 {{수변|N}}이 홀, 짝인 두 경우로 나눠 분석하여 얻어진다:
 
:<math>|S_{2m} - S| = S_{2m} - S \le S_{2m} - S_{2m+1} = a_{2m+1}</math>
 
:<math>|S_{2m+1} - S| = S - S_{2m+1} \le S_{2m+2} - S_{2m+1} = a_{2m+2}</math>
 
== 같이 보기 ==
* [[아벨 변환]]
* [[디리클레 판정법]]
 
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/교대급수_판정법"