P진수: 두 판 사이의 차이

[[수론]]에서, '''p진수<i>p</i>진수'''(p進數, ''p''-adic number)는 [[유리수]]의 체를 마치 어떤 [[소수 (수론)|소수]] ''p''에 대한 [[로랑 급수]]처럼 해석하여 [[완비 거리 공간|완비]]시켜 얻는 [[체 (수학)|체]]이다.

보다 구체적으로 설명하면, 임의의 소수 p에 대해, p진수들을 전부 모은 p진체는''p''진체는 유리수체의 [[완비 거리 공간|완비화]]이다. 또한 p진수에는''p''진수에는 p진''p''진 [[값매김]]이 주어져 있기에 [[거리 공간]]이 되며 따라서 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이기도 하다. 이 거리 공간은 [[완비 거리 공간]](즉, 모든 [[코시 수열]]이 수렴한다)이며, 그렇기에 p진체 상에서 마치 실수체 상에서와 같은 [[해석학 (수학)|해석학]]을 전개할 수 있는 것이다. p진법 체계의 유용성은 상당 부분 이와 같은 [[대수학|대수적]] 구조와 해석적 구조 사이의 상호 연관성에서 나온다.

[[유리수체]] <math>\mathbb Q</math>는 표준 [[노름]] <math>|a/b|</math>에 대하여 [[완비 거리 공간]]을 이루지 않는다. 따라서, 이에 대하여 [[코시 수열]]들의 [[동치류]]들을 취하여 이를 완비화할 수 있는데, 이렇게 하여 [[실수체]] <math>\mathbb R</math>을 얻는다. 유리수체의 표준 노름은 매우 유용하지만, 원하면 유리수체에 다른 노름을 줄 수도 있다. 이러한 노름에 대하여 완비화하면 다른 체를 얻게 된다. p진수는''p''진수는 이렇게 정의되는 체 가운데 하나다.

이와 같이 유리수체 <math>\mathbb Q</math> 위에 <math>p</math>의 인수를 더 많이 포함할 수록 더 노름이 작아지는 [[노름]]을 정의할 수 있다. p진체는''p''진체는 유리수체를 이 노름에 대하여 완비화한 체이다.

(모든 0이 아닌 유리수는 <math>p^na/b</math>와 같은 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다.) 이 노름을 '''p진<i>p</i>진 노름'''({{llang|en|''p''-adic norm}})이라고 한다.

[[유리수체]] <math>\mathbb Q_p</math>를 이 노름에 대하여 [[완비 거리 공간|완비화]]시켜 얻는 체를 '''p진체<i>p</i>진체''' <math>\mathbb Q_p</math>라고 하며, 그 원소를 '''p진수<i>p</i>진수'''라고 한다.

# 대수적 폐포 <math>\bar{\mathbb Q}_p</math>는 [[대수적으로 닫힌 체]]이지만 [[완비 거리 공간]]이 아니다. 그 완비화를 취하여, <math>\mathbb C_p</math>라는 체를 얻는다. 이는 [[대수적으로 닫힌 체]]이자 [[완비 거리 공간]]이다. 이를 '''p진<i>p</i>진 복소수체'''로 정의한다.

=== p진''p''진 노름 ===

p진''p''진 노름은 다음과 같은 성질들을 만족시킨다. 아래에서, <math>r,s\in\mathbb Q</math>는 임의의 유리수다.

=== p진''p''진 정수환 ===

p진''p''진 정수환 <math>\mathbb Z_p</math>의 [[집합의 크기]]는 <math>2^{\aleph_0}</math>이다. 즉, [[실수체]]의 크기와 같다.

[[가환대수학]]적으로, p진''p''진 정수환은 [[이산 값매김환]]이다 (따라서, [[주 아이디얼 정역]]이자 [[유클리드 정역]]이며, [[크룰 차원]]이 1차원인 [[국소환]]이다). 값군은 [[무한 순환군]] <math>\mathbb Z</math>이며, [[값매김]]은 p진''p''진 노름 <math>|\cdot|_p\colon\mathbb Q_p\to\mathbb Z</math>이다.

p진''p''진 정수환의 [[가역원군]] <math>\mathbb Z^\times_p</math>은 다음과 같다.

p진''p''진 정수환의 모든 0이 아닌 원소는 다음과 같이 유일하게 나타낼 수 있다.

따라서, p진''p''진 정수환의 모든 아이디얼은 다음과 같은 두 꼴 가운데 하나이다.

p진''p''진 정수환의 유일한 [[극대 아이디얼]]은 <math>(p)</math>이다. p진''p''진 정수환의 [[소 아이디얼]]은 영 아이디얼과 <math>(p)</math>이다.

p진''p''진 정수환의 [[몫환]]은 다음과 같다.

p진''p''진 정수환은 [[국소환]]이므로, 자연스러운 <math>(p)</math>진 위상을 갖추어 [[위상환]]을 이룬다. p진 정수의 덧셈 [[위상군]]의 [[폰트랴긴 쌍대군]]은 ([[이산 위상]]을 갖춘) [[프뤼퍼 군]] <math>\mathbb Z(p^\infty)</math>이다.

=== p진체''p''진체 ===

p진체''p''진체 <math>\mathbb Q_p</math>는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로서, p진체''p''진체 <math>\mathbb Q_p</math>는 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이지만, [[콤팩트 공간|콤팩트]]하지 않다.

=== p진''p''진 복소수체 ===

p진''p''진 복소수체 <math>\mathbb C_p</math>는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

원래 [[수론]]에서 도입되었지만, 오늘날 ''p''진수는 초기의 목적에 비해 훨씬 더 다양한 분야에서 사용되고 있다. 예를 들어 [[p진 해석학]]은 [[미적분학]]의 p진법''p''진법 버전이라 할 수 있다.

[[이론물리학]]에서도 p진수가''p''진수가 종종 사용된다.<ref>{{저널 인용|제목=''p''-adic mathematical physics|이름=B.|성=Dragovich|공저자=A. Yu. Khrennikov, S. V. Kozyrev, I. V. Volovich|arxiv=0904.4205|bibcode=2009arXiv0904.4205D|doi=10.1134/S2070046609010014|날짜=2009-03|issn=2070-0466|저널=''p''-Adic Numbers, Ultrametric Analysis, and Applications|권=1|호=1|쪽=1–17}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=math-ph/0306023|제목= Non-Archimedean Geometry and Physics on Adelic Spaces|이름=Branko|성=Dragovich}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0312046|제목=''p''-adic and adelic quantum mechanics|이름=Branko|성=Dragovich}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=1011.0912|제목=Nonlocal dynamics of ''p''-adic strings|이름=Branko|성=Dragovich|doi=10.1007/s11232-010-0093-4|bibcode=2010TMP...164.1151D}}</ref>