급수 (수학): 두 판 사이의 차이
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<math>X</math>를 첨수집합, <math>f:X\to\R</math>를 함수라고 하자. 만약 <math>X</math>와 자연수 집합 <math>\N</math> 사이에 [[일대일 대응]] <math>g:\N \to X</math>가 존재한다면(즉 <math>X</math>가 [[가산집합]]이라면), 모든 <math>f(x),\ x\in X</math>의 급수를 자연수 첨수에 기대 정의할 수 있다.
:<math>\sum_{x\in X} f(x) := \sum_{n=0}^{\infty} f(g(n))</math>
이러한 정의가 <math>g</math>의 선택에 의존하지 않게 하려면, 급수가 적어도 하나의('모든'이라 해도 이와 동치이다) <math>g</math>에 대해 [[절대수렴]]하여야 한다. [[조건수렴]]하는(따라서 절대수렴하지 않는) 급수는, 다른 값, 심지어 임의로 주어진 값에 수렴하도록 재배열할 수 있기 때문이다([[리만 재배열정리]]).
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의 원소 개수가 임의의 <math>n</math>에 대해 유한하고(많아야 <math>Mn</math> 개, <math>M</math>은 급수의 합), <math>X'</math>는 이러한 (가산 개의) <math>X'_n</math>의 합집합이기 때문이다. 이에 기초하여, 비가산집합에 의해 첨수된 급수를 다음과 같이 가산집합에 관한 정의로 귀결할 수 있다.
:<math>\sum_{x\in X} f(x) := \sum_{x\in X'} f(x)</math>
== 수렴성 ==
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