"계차수열"의 두 판 사이의 차이

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:{{수학|3, 5, 7, ... , 2''n'' + 1, ...}}
 
과 같다. 수열 {{수학|{{수집|''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}}의 계차수열의 [[일반항]]은 {{수학|''a''<sub>''n''+1</sub> - ''a<sub>n</sub>''}}이다.
 
계차수열은 [[등차수열]], 나아가 고계등차수열을 정의하는 데에 쓸 수 있다.
* 등차수열 {{수학|1=''a<sub>n</sub>'' = ''pn'' + ''q''}}의 계차수열은 [[상수열]] {{수학|1=Δ''a<sub>n</sub>'' = ''p''}}이다. 특별히, 상수열 {{수학|1=''a<sub>n</sub>'' = ''c''}}의 계차수열은 영수열 {{수학|1=Δ''a<sub>n</sub>'' = 0}}이다.
* [[조화수열]] {{수학|1=''a<sub>n</sub>'' = {{수직분수|''pn'' + ''q''}}}}의 계차수열은 {{수학|1=Δ''a<sub>n</sub>'' = {{수직분수|''p''|(''pn'' + ''q'')(''pn'' + ''p'' + ''q'')}}}}이다.
* 주어진 수열 {{수학수변|''a<sub>n</sub>''}}의 합 {{수학|1=''S<sub>n</sub>'' = ''a<sub>1</sub>'' + … + ''a<sub>n</sub>''}}의 계차수열은 {{수학|''a<sub>2</sub>'', ''a<sub>3</sub>'', ''a<sub>4</sub>'', ...}}이다.
* [[다항식의 차수|3차]] [[다항식]]인 {{수학|''n''<sup>3</sup>}}의 1, 2, 3계차수열은 각각 {{수학|3''n''<sup>2</sup> + 3''n'' + 1}}, {{수학|6''n'' + 6}}, {{수학|6}}이며, 이들은 각각 2차, 1차, 0차 다항식이다.
 
== 성질 ==
* 임의의 수열 {{수학|{{수집|''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}}은 초항과 일계차수열 {{수학|{{수집|Δ''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}}에 의해 유일하게 결정된다.
*:<math>a_n=a_1+\Delta a_1+\Delta a_2+\cdots+\Delta a_{n-1}=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\Delta a_k</math>
* 다만, 홀수열 {{수학|1, 3, ...}}과 짝수열 {{수학|2, 4, ...}}처럼, 일계차수열이 같더라도, 수열의 초항이 다르면 다른 수열이 된다.
*:<math>a_n={n-1\choose 0}a_1+{n-1\choose 1}\Delta a_1+{n-1\choose 2}\Delta^2 a_1+\cdots+{n-1\choose n-1}\Delta^{n-1}a_1=\sum_{k=0}^{n-1}{n-1\choose k}\Delta^k a_1</math>
: 여기서 <math>\textstyle{n-1\choose k}</math>는 {{수학|''n'' - 1}}의 대상 중에서 {{수학|k}} 개를 고른 [[조합수]]이다.
* [[단조수열|수열의 단조성]]은 계차수열을 이용해 기술할 수 있다. 수열 {{수학|{{수집|''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}}이 [[단조증가]]할 [[필요충분조건]]은 {{수학|Δ''a<sub>n</sub>'' ≥ 0}}이 모든 {{수학|n}}에게 성립하는 것이다. 수열 {{수학|{{수집|''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}}이 [[단조감소]]할 필요충분조건은, {{수학|Δ''a<sub>n</sub>'' ≤ 0}}이 모든 {{수학|n}}에게 성립하는 것이다.
* [[아벨 변환]]
* [[슈톨츠-체사로 정리]]
'''{{수학|k}}계등차수열'''은, {{수학|x}}계차수열이 상수열이 되게 하는 가장 작은 자연수 {{수학|x}}가 {{수학|k}}인 수열을 말한다. 공차가 0이 아닌 등차수열은 일계등차수열이다. 상수열은 0계차수열(자기 자신)이 상수열이기에 0계등차수열이다.
 
어떤 수열 {{수학|{{수집|''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}}이 {{수학|k}}계등차수열일 필요충분조건은, 일반항이 {{수학|n}}에 대한 [[다항식|{{수학|k}}차 다항식]]이라는 것이다.<ref name="WQ" />
 
== 각주 ==