"포물선"의 두 판 사이의 차이

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== 역사 ==
{{참조|원뿔 곡선}}
[[파일:Conic sections 2n.png|thumb|300px|left|마주 보는 두 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때 나타나는 자취가 원뿔 곡선이다. 제일 왼쪽의 A가 포물선이다.]]
[[원뿔 곡선]]의 엄밀한 정의는 [[메나이크모스]]에 의해 정립되었다. 메나이크모스는 [[정육면체]]의 [[부피]]를 두배로 늘리는 문제<ref group="주해">정육면체의 부피 문제는 고대 그리시 시대 기하학의 난제 가운데 하나였다. 이와 관련해서는 [[미노스]]의 묘비에 얽힌 전설, [[아폴로]]의 제단에 얽힌 전설 등 다양한 이야기가 전해지고 있다. - Howard Eve, 이우영 신향균 역, 《수학사》, 경문사, ISBN 89-7282-298-1, 95-96쪽</ref>, 즉 <math>x^3 = 2</math>의 해를 구하는 과정에서 원뿔 곡선을 그림과 같이 마주보는 두 개의 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때 나타나는 자취로 파악하였다.<ref>토비아스 단치히, 심재관 역, 《과학의 언어 수》, 지식의숲, 2007년, ISBN 978-89-9176-244-2, 366쪽</ref><ref group="주해">메나이크모스의 해는 전하지 않는다. 11세기 페르시아의 수학자 [[오마르 하이얌]]이 포물선과 원을 이용하여 <math>x^3 + ax = b </math> 꼴의 삼차방정식에 대한 양의 실수근을 작도하였다. - 스티븐 크란츠, 남호영 장영호 역, 《문제해결로 살펴본 수학사》, 경문사, ISBN 978-89-6105-603-8, 88-89쪽</ref>
 
원뿔 곡선의 수학적 특성을 집대성한 것은 [[페르게의 아폴로니오스]]로 그는 모두 8권의 《원뿔 곡선론》을 저술하였다. 이 가운데 일곱권이 오늘날까지 전해지는데 네 권은 그리스어로 세 권은 아랍어로 된 판본이 남아있다.<ref name="EVE156" />
 
[[아르키메데스]]는 실진법을 이용하여 포물선과 직선으로 둘러쌓인 도형의 넓이는 그에 내접하는 삼각형의 넓이의 {{frac|4|3}}임을 증명하였다.<ref>셔먼 스타인, 이우영 역, 《아르키메데스》, 경문사, ISBN 89-7282-926-9, 87쪽</ref>아르키메데스의 증명 과정을 간략히 소개하면,
17세기 이후 포물선은 다시 활발하게 응용되기 시작했는데, [[고전역학]]의 [[등가속도운동]]의 계산<ref>오가미 마사시, 임정 역, 《수학으로 풀어보는 물리의 법칙》, 이지북, 2005년, ISBN 978-89-5624-190-6, 137-138쪽</ref>이나 [[반사망원경]]과 같은 [[광학]] 도구의 제작에 필수적이기 때문이다.
# 포물선을 가로지르는 직선을 한 변으로 하는 내접 삼각형을 그린다.
# 위와 같이 하여 그린 내접 삼각형에 의해 포물선은 두 구간으로 분할되며 여기에 다시 같은 방법으로 내접 삼각형을 그릴 수 있다.
# 이렇게 계속하여 내접 삼각형을 그려나가면 아래의 그림과 같이 포물선을 가로지르는 직선에 둘러싸인 도형은 무수히 많은 삼각형으로 분할된다.
# 최초의 내접 삼각형 넓이를 1이라고 하면 전체 삼각형의 넓이는 다음의 공식에 의해 구할 수 있다.
:<math>\sum_{n=0}^\infty 4^{-n} = 1 + 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + \cdots = {4\over 3}. \;</math>
이는 공비가 {{frac|1|4}}인 [[기하급수]]를 구하는 것과 같다.
[[파일:Parabolic Segment Dissection.svg|thumb|center|포물선과 직선으로 둘러쌓인 도형의 넓이]]
 
17세기 이후 포물선은 다시 활발하게 응용되기 시작했는데, [[고전역학]]의 [[등가속도운동]]의 계산<ref>오가미 마사시, 임정 역, 《수학으로 풀어보는 물리의 법칙》, 이지북, 2005년, ISBN 978-89-5624-190-6, 137-138쪽</ref>이나 [[반사망원경]]과 같은 [[광학]] 도구의 제작에 필수적이기 때문이다.<ref>Geoge F. Simmons, 고석구 외 역, 《미적분학과 해석기하》, 경문사, ISBN 89-7282-435-6, 616쪽</ref><br clear="all" />
<br clear="all" />
 
== 포물선의 방정식 ==
 
== 접선의 방정식 ==
[[파일:Parabel-tk-s.svg|thumb|포물선 위의 한 점에서 만나는 접선은 유일하다.]]
 
포물선 위의 한 점에서 만나는 [[접선]]의 [[기울기]]는 포물선의 방정식을 [[미분]]하여 구할 수 있다.<ref>고바야시 미치마사, 조윤동 역, 《문과 학생을 위한 미적분》, 아카데미, ISBN 978-89-7616-425-4, 85-92쪽</ref>
 
예를 들어 <math>y=x^2</math> 위의 한 점 <math>P(1,1)</math>와 만나는 접선의 기울기를 계산하면,
:<math>\frac{d}{dx} x^2 = 2x</math>
이므로, <math>x=1</math> 일때 기울기는 2가 된다. 따라서 이 [[직선]]의 방정식은 <math>y = 2x + c</math>의 꼴임을 알 수 있다. 한편, 이 직선이 점 <math>P(1,1)</math>를 지나므로 c는 -1 이 된다. 따라서 <math>y=x^2</math> 위의 한 점 <math>P(1,1)</math>와 만나는 직선의 방정식은 <math>y = 2x - 1</math> 이 된다. 포물선 위의 한 점에서 만나는 접선은 유일하고, 역으로 특정한 기울기를 갖는 접선은 오직 포물선 위의 한 점에서만 만난다.
 
=== 기울기가 주어졌을 경우 ===
기울기가 <math>k\,</math>로 주어졌을 경우, 포물선의 접선의 방정식은 다음과 같이 구할 수 있다.
*<math>(y-n)^2=4p(x-m)</math> 일 때
<math>(y\,-n)=k(x-m)+\frac{p}{k}</math>
 
=== 접점이 주어졌을 경우 ===
포물선 위의 점 <math>(x_1,y_1)</math>에서 접선을 그었을 경우, 포물선의 접선의 방정식은 다음과 같이 구할 수 있다.
*<math>(y-n)^2=4p(x-m)</math> 일 때
<math>(y_1-n\,)(y-n)=2p \left\{(x-m)+(x_1-m)\right\}</math>
 
== 성질 ==
[[파일:Parabola01 kr.svg|thumb|포물선의 각 요소]]
[[파일:Las parábolas son cuadráticas.svg|thumb|원뿔곡선에서 포물선은 원뿔의 기울기와 나란한 경우에 해당한다.]]
 
*[[원뿔 곡선]]이다.
*준선이 좌표축과 평행한 포물선은 [[이차곡선]]이다.