자유 가군: 두 판 사이의 차이
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모든 자유 가군은 [[사영 가군]]이다. 반대로, (가환) [[국소환]] 또는 [[주 아이디얼 정역]]에 대한 사영 가군은 자유 가군이다. 이들은 다음과 같은 함의 관계의 일부이다.
:[[File:Module properties in commutative algebra.svg]]
=== 불변 기저 수 성질 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>가 주어졌을 때, 임의의 두 양의 정수 <math>m,n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여 <math>_R(R^m)\cong {}_R(R^n)</math>이라면 (즉, <math>R</math>-[[왼쪽 가군]]으로서 서로 [[동형]]일 경우) <math>m=n</math>이 성립할 경우, <math>R</math>가 왼쪽 '''불변 기저 수 성질'''({{llang|en|invariant basis number property}}, 약자 IBN)을 만족시킨다고 한다. 불변 기저 수 성질을 만족시키는 환 위의 자유 가군의 경우, 그 계수를 유일하게 정의할 수 있다.
다음과 같은 환들은 [[왼쪽 가군]]에 대한 불변 기저 수 성질을 만족시킨다.
* [[자명환]]이 아닌 [[가환환]]
* [[자명환]]이 아닌 [[왼쪽 뇌터 환]]
* [[자명환]]이 아닌 [[반국소환]]({{llang|en|semilocal ring}}, [[제이컵슨 근기]]에 대한 [[몫환]]이 [[반단순환]]인 [[환 (수학)|환]])
== 예 ==
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[[자유 아벨 군]]은 [[정수환]] <math>\mathbb Z</math>의 [[가군]]으로서 자유 가군인 아벨 군이다.
=== 불변 기저 수 성질의 실패 ===
[[자명환]] <math>0</math>은 (자명하게) 불변 기저 수 성질을 만족시키지 않는다. 사실, 임의의 (유한 또는 무한) [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여 <math>0^{\kappa}</math>는 ([[한원소 집합]]이므로) [[자명환]] 위의 영가군이다.
임의의 [[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여, '''열 유한 행렬환'''({{llang|en|ring of column-finite matrices}}) <math>\operatorname{CFM}(\mathbb N;R)</math>가 다음과 같은 꼴의 "행렬"로 구성된 [[환 (수학)|환]]이라고 하자.
* <math>\operatorname{CFM}(\mathbb N;R)</math>의 원소 <math>(r_{i,j})_{i,j=0,1,2,\dots}</math> <math>(r_{i,j}\in R</math>)</math>는 <math>R</math> 계수의 <math>\mathbb N\times\mathbb N</math> "[[행렬]]"이다.
* <math>\operatorname{CFM}(\mathbb N;R)</math>의 원소의 각 열에서, 0이 아닌 성분의 수는 유한하다.
둘째 조건 때문에 두 행렬의 곱은 무한한 합을 필요로 하지 않아 잘 정의된다. 이 경우, 다음과 같은 [[왼쪽 가군]] 동형 사상이 존재하므로, 불변 기저 수 성질이 성립하지 않는다.
:<math>\operatorname{CFM}(\mathbb N;R)\to\operatorname{CFM}(\mathbb N;R)^2</math>
:<math>(r_{i,j})_{i,j\in\mathbb N}\mapsto\left((r_{i,2j})_{i,j\in\mathbb N},(r_{i,2j+1})_{i,j\in\mathbb N}\right)</math>
즉, 이 가군 동형 사상은 짝수 번째 열과 홀수 번째 열을 분리하는 것이다.
== 바깥 고리 ==
* {{eom|title=Free module}}
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* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Free_module|제목=Free module|웹사이트=Commalg|언어=en}}
[[분류:가군론]]
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