다항식환: 두 판 사이의 차이
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[[대수학]]에서, '''다항식환'''(多項式環, {{llang|en|polynomial ring}})은 어떤 주어진 [[환 (수학)|환]]의 원소를 계수로 하는 [[다항식]]들로 구성된 [[환 (수학)|환]]이다.
==
[[체 (수학)|체]](또는 [[가환환]]) <math>
:<math>p =
(<math>x</math>는 형식적 기호)꼴의 표현식들의 집합 <math>
:<math>\textstyle p + q = \sum_{
\ (q \in F[x],\ q = \sum_{
로 정의된 두 [[이항연산]] <math>+, \cdot</math>로 이루어진 환이다.
:<math>F[x]
:<math>p \ne 0 \Rightarrow p_{\deg p} \ne 0 = p_{\deg p + 1} = p_{\deg p + 2} = \cdots</math>
:<math>\textstyle p + q = \sum_{n=0}^{\infty}(p_n + q_n)x^n,\ pq = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^n p_kq_{n-k}x^n</math>
== R[''x''] ==
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원소 <math>p\in R[x]</math>의 '''차수''' <math>\deg p</math>는
:<math>\deg\sum_{n=0}^\infty r_nx^n=\
이다.
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체 <math>K</math>에 대한 다항식환은 [[유클리드 정역]]이다.
== 가군 구조 ==
체 <math>K</math>에 대하여, <math>K[x]</math>는 다음과 같은 [[스칼라배]] 연산을 추가하면 [[벡터 공간]]이다.
:<math>\textstyle kp = \sum_{n=0}^{\infty} kp_nx^n\ (k \in K,\ p \in K[x])</math>
가환환 <math>R</math>에 대해서도, <math>R[x]</math>에 비슷한 연산에 의한 {{수학|R}}-[[가군]] 구조가 존재한다. 따라서 이들 <math>K[x], R[x]</math>는 각각, 체와 가환환 위의 [[대수 (체론)|대수]]를 이룬다. <math>R</math>이 비가환환이라면, <math>R[x]</math>에는 연산
:<math>\textstyle rp = \sum_{n=0}^{\infty} rp_nx^n,\ pr= \sum_{n=0}^{\infty} p_nrx^n\ (r \in R,\ p \in R[x])</math>
에 의하여 좌·우 {{수학|R}}-가군 구조가 형성된다.
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|성=Hoffman|이름=Kenneth|날짜=1971년 4월 1일|제목=Linear Algebra|언어=en|판=2|출판사=Prentice Hall|쪽=|isbn=0-13-536797-2}}
== 바깥 고리 ==
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