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1번째 줄: [[대수학]]에서, 체 위의 '''다항식환'''(多項式環, {{llang\|en\|polynomial ring}})은 어떤 주어진 [[환체 (수학)\|환]]의 원소를 계수로 하는 [[다항식~~]]들로~~, ~~구성된 [[환 (수학)\|환]]이다.~~즉 :<math>p = p_0 + p_1x + \cdots + p_nx^n</math> (<math>x</math>는 형식적 기호, <math>p_i \in K</math>)꼴의 식들이 상식과 일치하는 덧셈과 곱셈에 의해 이루는 [[환 (수학)\|환]]이다. == 정의 == [[체 (수학)\|체]]~~(또는 [[가환환]])~~ <math>K</math> 위의 '''다항식환''' <math>(K[x]~~, +, \cdot)~~</math>는, :<math>~~p = p_0 + p_1x +~~ \|\~~cdots + p_nx^n\ (p_k~~{i \in K,\N n: ~~\ne 0 \Rightarrow p_n~~p_i \ne 0,\}\| p< \~~ne 0 \Rightarrow \deg p := n)~~infty</math> 즉 ~~(<math>x</math>는 형식적 기호)꼴의 표현식들의 집합 <math>K[x]</math>와~~ :<math>\exists n,\ \forall i > n,\ p_i = 0</math> ~~:<math>\textstyle p + q = \sum_{k=0}^n (p_k + q_k) x^k,\ pq = \sum_{k=0}^{n+m} \sum_{0\le\ell\le n,\ 0\le k-\ell\le m} p_\ell q_{k-\ell}x^k~~ ~~\ (q \in K[x],\ q = \sum_{k=0}^m q_kx^k,\ m \le n)</math>~~ 인 로 정의된 두 [[이항연산]] <math>+, \cdot</math>로 이루어진 환이다. 다음은 이와 동치인, 때로 더 편리한 정의법이다.▼ :<math>~~K[x] = \{~~p = (p_0,\ p_1,\ p_2,\ \ldots) \in K^{\N~~}\ \colon\ \exists n',\,\forall n > n',\,p_i = 0\~~}</math> :<math>p \ne 0 \Rightarrow p_{\deg p} \ne 0 = p_{\deg p + 1} = p_{\deg p + 2} = \cdots</math>▼ :<math>\textstyle p + q = \sum_{n=0}^{\infty}(p_n + q_n)x^n,\ pq = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^n p_kq_{n-k}x^n</math>▼ ('''다항식''')들의 집합 <math>K[x]</math>와 ~~== 기본 구조 ==~~ === 차수 ===▼ ~~<math>K[x]</math>의 원소인 다항식 <math>\textstyle p = \sum_{n=0}^{\infty}</math>의 '''차수'''는 위에서 언급한대로~~ :<math>~~\deg~~ p + q = (p_0 + q_0,\~~max\{n~~ p_1 + q_1,\~~colon~~ ~~r_n~~p_2 + q_2,\ne 0\}ldots)</math> :<math>pq = (p_0q_0,\ p_0q_1 + p_1q_0,\ p_0q_2 + p_1q_1 + p_2q_0,\ \ldots)</math> ▲로 정의된 두 [[이항연산]] <math>+, \cdot</math>로으로 이루어진 환이다. ~~다음은~~각 ~~이와 동치인, 때로 더 편리한 정의법이다.~~다항식들은 ~~로 정의된다.~~ :<math>~~\textstyle kp~~p = \sum_{n=0}^{\infty} ~~kp_nx~~p_nx^n~~\ (k \in K,\ p \in K[x])~~</math>▼ == 생성환과의 관계 ==▼ [[환 (수학)\|환]] <math>R</math>에 대하여,▼ * 만약 <math>R</math>가 [[가환환]]이라면, <math>R[x]</math> 역시 [[가환환]]이다.▼ * 만약 <math>R</math>가 [[유일 인수 분해 정역]]이라면, <math>R[x]</math> 역시 [[유일 인수 분해 정역]]이다.▼ * 만약 <math>R</math>가 [[가환환\|가환]] [[뇌터 환]]이라면, <math>R[x]</math> 역시 [[가환환\|가환]] [[뇌터 환]]이다.▼ 으로 나타내며, 이때 덧셈과 곱셈은 체 <math>K</math>에 대한 다항식환은 [[유클리드 정역]]이다.▼ :<math>p + q = \sum_{n=0}^{\infty}(p_n + q_n)x^n</math> ~~== 가군 구조 ==~~ ▲:<math>~~\textstyle p + q = \sum_{n=0}^{\infty}(p_n + q_n)x^n,\~~ pq = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^n p_kq_{n-k}x^n</math> 체 <math>K</math>에 대하여, <math>K[x]</math>는 다음과 같은 [[스칼라배]] 연산을 추가하면 [[벡터 공간]]이다.▼ 로 표현된다. 0이 아닌 임의의 다항식 <math>p</math>에 대해, 유일하게 ▲:<math>\textstyle kp = \sum_{n=0}^{\infty} kp_nx^n\ (k \in K,\ p \in K[x])</math> ▲:<math>~~p \ne 0 \Rightarrow p_{\deg p}~~p_n \ne 0 = p_{~~\deg p~~ n+ 1} = p_{~~\deg p~~ n+ 2} = \cdots</math> 가환환 <math>R</math>에 대해서도, <math>R[x]</math>에 비슷한 연산에 의한 {{수학\|R}}-[[가군]] 구조가 존재한다. 따라서 이들 <math>K[x], R[x]</math>는 각각, 체와 가환환 위의 [[대수 (체론)\|대수]]를 이룬다. <math>R</math>이 비가환환이라면, <math>R[x]</math>에는 연산▼ 인 <math>n</math>을 다항식 <math>p</math>의 '''차수'''라고 하고, <math>\deg p</math>로 표기한다. 즉 :<math>\textstyle rp = \sum_{n=0}^{\infty} rp_nx^n,\ pr= \sum_{n=0}^{\infty} p_nrx^n\ (r \in R,\ p \in R[x])</math>▼ :<math>\deg p = \max\{i : p_i \ne 0\}</math> 위와 같은 정의와 똑같이 임의의 환 위의 다항식환 <math>R[x]</math>도 정의할 수 있다. ▲=== 차수성질 === 다항식환은 환으로서 만족해야할 모든 성질들을 갖춘다. 체 위의 다항식환 <math>K[x]</math>는 다음을 추가적으로 만족한다. * 곱셈의 [[교환법칙]]. 따라서 <math>K[x]</math>는 [[가환환]]이다. * [[소거법칙]]. 따라서 <math>K[x]</math>는 [[정역]]이다. == 대수 == ▲체 <math>K</math>에 대하여, <math>K[x]</math>는에 다음과 같은 [[스칼라배]] 연산을 ~~추가하면~~정의할 ~~[[벡터~~수 ~~공간]]이다~~있다. :<math>kp = \sum_{n=0}^{\infty} kp_nx^n\ (k \in K,\ p \in K[x])</math> 이는 <math>K</math>와 동형인 <math>K[x]</math> 내의 상수다항식들과의 곱셈과 동등하다. <math>K[x]</math>는 덧셈, 스칼라배에 의한 [[벡터 공간]]이다. 나아가 <math>K[x]</math>는, 덧셈, 곱셈, 스칼라배 연산에 의한 {{수변\|K}}-[[대수 (체론)\|대수]]이다. 다항식 대수는 때로 대수 <math>K^{\N}</math>(또는 <math>K^{\infty}</math>)의 <math>1, x, x^2,\ldots</math>에 의해 [[선형생성\|생성]]된 부분대수로 정의된다. ▲가환환 <math>R</math>에 ~~대해서도,~~위의 <math>R[x]</math>에에도, 비슷한 ([[가군]]) 연산에 의한 {{수학\|R}}-~~[[가군]] 구조가 존재한다. 따라서 이들 <math>K[x], R[x]</math>는 각각, 체와 가환환 위의~~ [[대수 (체론환론)\|대수]]를 ~~이룬다~~구조가 존재한다. <math>R</math>이 비가환환이라면, <math>R[x]</math>에는 연산 ▲:<math>~~\textstyle~~ rp = \sum_{n=0}^{\infty} rp_nx^n,\ pr= \sum_{n=0}^{\infty} p_nrx^n\ (r \in R,\ p \in R[x])</math> 에 의하여 좌·우 {{수학\|R}}-가군 구조가 형성된다. ▲== 생성환과의 관계 == ▲[[환 (수학)\|환]] <math>R</math>에 대하여, ▲* 만약 <math>R</math>가 [[가환환]]이라면, <math>R[x]</math> 역시 [[가환환]]이다. ▲* 만약 <math>R</math>가 [[유일 인수 분해 정역]]이라면, <math>R[x]</math> 역시 [[유일 인수 분해 정역]]이다. ▲* 만약 <math>R</math>가 [[가환환\|가환]] [[뇌터 환]]이라면, <math>R[x]</math> 역시 [[가환환\|가환]] [[뇌터 환]]이다. ▲체 <math>K</math>에 대한 다항식환은 [[유클리드 정역]]이다. == 다변수 다항식환 ==

다항식환: 두 판 사이의 차이