으뜸 아이디얼: 두 판 사이의 차이
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<math>R</math>의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>의 '''으뜸 부분 가군'''({{llang|en|primary submodule}}) <math>N\subseteq M</math>은 <math>M/N</math>이 공으뜸 왼쪽 가군인 [[부분 가군]]이다. [[오른쪽 가군]]에 대해서도 마찬가지로 정의할 수 있다.
<math>_RR</math>의 으뜸 부분 가군을 '''으뜸 왼쪽 아이디얼'''({{llang|en|primary left ideal}})이라고 한다
=== 삼종 아이디얼 ===
환 <math>R</math>의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>이 주어졌을 때, <math>\operatorname{ter}_RM\subseteq R</math>을 다음과 같이 정의하자.<ref name="Riley"/>{{rp|185, §3}}<ref name="Croisot"/>{{rp|22-02, Définition 1.1}}
:<math>\operatorname{ter}_RM=\{r\in R\colon\forall m\in M\setminus\{0\}\exists s\in R\colon rRsm=\{0\
환 <math>M</math>의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여, 만약
* 임의의 <math>r\in R</math> 및 <math>m\in M\setminus\{0\}</math>에 대하여, 만약 <math>rRm=\{0\}</math>이라면, <math>r\in\operatorname{ter}_RM</math>이다.
▲환 <math>M</math>의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여, 만약 <math>\operatorname{Ann}_RM\subseteq\operatorname{ter}M</math>이라면, <math>M</math>이 '''여삼종 가군'''(餘三種加群, {{llang|en|cotertiary module}})이라고 한다.<ref name="Riley"/>{{rp|185, §3}} 환 <math>M</math>의 가군 <math>M</math>의 부분 가군 <math>N</math>에 대하여, 만약 몫가군 <math>M/N</math>이 여삼종 가군이라면, <math>N</math>을 '''삼종 부분 가군'''({{llang|en|tertiary submodule}})이라고 한다.
환 <math>M</math>의 가군 <math>M</math>의 부분 가군 <math>N</math>에 대하여, 만약 몫가군 <math>M/N</math>이 여삼종 가군이라면, <math>N</math>을 '''삼종 부분 가군'''({{llang|en|tertiary submodule}})이라고 한다.
모든 으뜸 부분 가군은 삼종 부분 가군이며, 만약 <math>R</math>가 [[가환환]]이라면 두 개념은 일치한다.
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[[가환환]] <math>R</math>의 아이디얼 <math>\mathfrak q</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 아이디얼을 <math>R</math>의 '''으뜸 아이디얼'''이라고 한다.
* <math>R</math>의 으뜸 부분 가군이다.
* <math>R</math>의 삼종 부분 가군이다.
* 임의의 <math>r,s\in R</math>에 대하여, 만약 <math>rs\in\mathfrak q</math>라면 <math>r\in\mathfrak q</math>이거나, <math>s^n\in\mathfrak q</math>인 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>이 존재한다.
* 임의의 <math>r,s\in R</math>에 대하여, 만약 <math>rs\in\mathfrak q</math>라면 <math>r\in\mathfrak q</math>이거나, <math>s\in\mathfrak q</math>이거나, 아니면 <math>r,s\in\sqrt{\mathfrak q}</math>이다. 여기서 <math>\sqrt{}</math>는 [[아이디얼의 근기]]이다.
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이를 해결하기 위하여, [[에마누엘 라스커]]가 라스커-뇌터 정리를 [[다항식환]]에 대하여 증명하였고,<ref>{{저널 인용|이름=E.|성=Lasker|저자고리=에마누엘 라스커|제목=Zur Theorie der Moduln und Ideale|저널=Mathematische Annalen|권=60|날짜=1905|쪽=19–116|doi=10.1007/BF01447495|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002260093|issn=0025-5831|언어=de}}</ref> 그 뒤 [[에미 뇌터]]가 라스커-뇌터 정리를 일반적 [[뇌터 가환환]]에 대하여 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=E.|성=Noether|저자고리=에미 뇌터|제목=Idealtheorie in Ringbereiche|저널=Mathematische Annalen|권=83|날짜=1921|쪽=24–66|issn=0025-5831|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002267829|doi=10.1007/BF01464225|언어=de}}</ref>{{rp|44, §5, Satz IX}} 이에 따라 임의의 [[뇌터 가환환]]에 대하여 소인수 분해가 일반화되었다.
비가환환의 경우, 레옹스 르시외르({{llang|fr|Léonce Lesieur}})와 로베르 크루아조({{llang|fr|Robert Croisot}})가 삼종 아이디얼의 개념을 도입하여, [[왼쪽 뇌터 환]]의 경우 삼종 분해가 성립함을 보였다.<ref name="Croisot">{{저널 인용|이름=R.|성=Croisot|제목=Exposé № 22. Théorie noethérienne des idéaux dans les anneaux et les demi-groupes non nécessairement commutatifs (exposé d’une partie d’un mémoire de L. Lesieur et R. Croisot, à paraître au Math. Zeitschrift)|저널=Séminaire P. Dubreil et C. Pisot. Algèbre et théorie des nombres|권=10|zbl=0116.02405|url=http://www.numdam.org/item?id=SD_1956-1957__10__A20_0|날짜=1957-05-20|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=L.|성=Lesieur|제목=Exposé № 14. Théorie noethérienne des anneaux non commutatifs: une propriété caractéristique des idéaux tertiaires|저널=Séminaire P. Dubreil, M.-L. Dubreil-Jacotin et C. Pisot. Algèbre et théorie des nombres|권=11|호=2|zbl=0116.26405 |url=http://www.numdam.org/item?id=SD_1957-1958__11_2_A1_0|날짜=1958-02-17|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Léonce|성=Lesieur|이름2=R.|성2=Croisot|제목=Extension au cas non commutatif d’un théorème de Krull et d’un lemme d’Artin-Rees. À M. Wolfgang Krull, à l’occasion de son 60<sup>e</sup> anniversaire|저널=Journal für die reine und angewandte Mathematik|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN00217880X|권=204|날짜=1960|쪽=216–220|mr=0131436|doi=10.1515/crll.1960.204.216|issn=0075-4102|언어=fr}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=Léonce|성=Lesieur|이름2=Robert|성2=Croisot|제목=Algèbre nœthérienne non commutative|출판사=Gauthier-Villars & C<sup>ie</sup>|날짜=1963|총서=Mémorial des sciences mathématiques|권=154|mr=155861|zbl=0115.02903|url=http://www.numdam.org/item?id=MSM_1963__154__1_0|언어=fr}}</ref>
== 참고 문헌 ==
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