으뜸 아이디얼: 두 판 사이의 차이

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[[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>이 다음 성질을 만족시킨다면, <math>_RM</math>을 '''여으뜸 왼쪽 가군'''(餘-加群, {{llang|en|coprimary left module}})이라고 한다.<ref name="Riley">{{저널 인용|제목=Axiomatic primary and tertiary decomposition theory|이름=John A.|성=Riley|날짜=1962-11|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=105|호=2|쪽=177–201|mr=0141683|issn=0002-9947|doi=10.1090/S0002-9947-1962-0141683-4|언어=en}}</ref>{{rp|185, §3}}
* 임의의 <math>r\in R</math> 및 <math>m\in M\setminus\{0\}</math>에 대하여, 만약 <math>rRm=\{0\}</math>이라면, <math>r\in\sqrt{\operatorname{Ann}(_RM)}</math>이다.
여기서 <math>\operatorname{Ann}</math>은 [[소멸자]]이며, <math>\sqrt{}</math>은 [[아이디얼의 근기소근기]](즉, 이를 포함하는 모든 [[소 아이디얼]]들의 [[교집합]])이다. 만약 <math>R</math>가 [[가환환]]이라면, 이는 다음 조건과 [[동치]]이다.
:모든 <math>r\in R</math> 및 <math>m\in M</math>에 대하여, 만약 <math>rm=0</math>이라면, <math>m=0</math>이거나 아니면 충분히 큰 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여 <math>r^nM=\{0\}</math>이다.
 
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* <math>R</math>의 삼종 부분 가군이다.
* 임의의 <math>r,s\in R</math>에 대하여, 만약 <math>rs\in\mathfrak q</math>라면 <math>r\in\mathfrak q</math>이거나, <math>s^n\in\mathfrak q</math>인 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>이 존재한다.
* 임의의 <math>r,s\in R</math>에 대하여, 만약 <math>rs\in\mathfrak q</math>라면 <math>r\in\mathfrak q</math>이거나, <math>s\in\mathfrak q</math>이거나, 아니면 <math>r,s\in\sqrt{\mathfrak q}</math>이다. 여기서 <math>\sqrt{}</math>는 [[아이디얼의 근기소근기]]이다.
* <math>R/\mathfrak q</math>의 모든 [[영인자]]는 [[멱영원]]이다.
 
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== 성질 ==
[[가환환]]의 경우 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[아이디얼]] ⊇ [[근기반소 아이디얼]] ∪ 으뜸 아이디얼 ⊇ [[근기반소 아이디얼]] ∩ 으뜸 아이디얼 = [[소 아이디얼]] ⊇ [[극대 아이디얼]]
특히, [[소 아이디얼]]은 으뜸 아이디얼이다. 가환환 <math>R</math>의 전체 아이디얼 <math>(1)=R</math> 역시 으뜸 아이디얼이다.
 
으뜸 아이디얼의 [[아이디얼의 근기|근기소근기]]는 항상 [[소 아이디얼]]이다. 으뜸 아이디얼 <math>\mathfrak q</math>의 근기가[[소근기]]가 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p</math>이면, <math>\mathfrak q</math>를 '''<math>\mathfrak p</math>-으뜸 아이디얼'''({{llang|en|<math>\mathfrak p</math>-primary ideal}})이라고 한다. 반대로, 근기가[[소근기]]가 [[극대 아이디얼]]인 아이디얼은 으뜸 아이디얼이다. (그러나 으뜸 아이디얼이 아니지만 근기가[[소근기]]가 소 아이디얼인 아이디얼이 존재한다.)
 
=== 공으뜸 가군 ===
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[[정수환]] <math>\mathbb Z</math>은 [[주 아이디얼 정역]]이므로, 모든 아이디얼이 [[주 아이디얼]]이다. 정수환에서 소 아이디얼은 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>로 생성되는 [[주 아이디얼]] <math>(p)</math>이며, 으뜸 아이디얼은 소수의 [[거듭제곱]] <math>p^n</math> (<math>n\in\mathbb Z^+</math>)으로 생성되는 [[주 아이디얼]] <math>(p^n)</math>이다.
 
=== 근기가소근기가 소 아이디얼인 비(非)으뜸 아이디얼 ===
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>에 대하여, <math>K[x,y,z]/(xy-z^2)</math>를 생각하자. 이 경우,
:<math>\mathfrak p=(x,z)</math>
라고 하자. 이는 [[소 아이디얼]]이다. 즉, <math>\mathfrak p^2=(x^2,z^2,xz)</math>의 근기[[소근기]] <math>\sqrt{\mathfrak p^2}=\mathfrak p</math>는 소 아이디얼이다. 그러나 <math>\mathfrak p^2</math>는 으뜸 아이디얼이 아니다.
:<math>xy=z^2\in\mathfrak p^2</math>
이지만,