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* 벡터 공간 <math>V</math> 위의 [[항등사상]]은 선형사상이다.
* [[행렬]] <math>\mathbf{A} \in K^{m \times n}</math>에 대해, <math>f: F^n \to F^m,</math> <math>x \mapsto \mathbf{A}xAx</math>는 선형사상이다.
* 3차원 [[유클리드 공간]]의 벡터에 대한 회전, 평행이동, 사영 등의 변환은 모두 선형변환이다.
== 기본적 성질 ==
만약 <math>f</math>가 벡터 공간 <math>V</math>에서 <math>W</math>로의 선형사상이라면,
임의의 유한차원 벡터 공간에 정의되는 선형사상은, 유한 개의 [[기저 (선형대수학)|기저]]의 상에 의해 유일하게 결정된다. <math>V</math>가 <math>\alpha_1, \ldots, \alpha_n</math>를 기저로 하는 <math>n</math>차원 벡터 공간이고, <math>W</math>가 <math>\beta_1, \ldots, \beta_n</math>을 원소로 포함하는 임의의 벡터 공간이라고 하자. 그러면 <math>f(\alpha_i) = \beta_i</math>인 선형사상 <math>f: V \to W</math>는 유일하게 존재한다.
만약 <math>f,g: V \to W,</math> <math>h: W \to Z</math>가 선형사상이라면, <math>f + g,</math> <math>cf,</math> <math>h \circ f</math>는 여전히 선형사상이다. <math>V</math>에서 <math>W</math>로의 선형사상들의 집합은 앞의 두 연산에 의해 새로운 [[벡터 공간]] <math>\operatorname{Hom}(V, W)</math>를 이룬다. 선형변환이 이루는 벡터 공간 <math>\operatorname{Hom}(V, V)</math>는 합성 연산이 추가되어 [[대수 (체론)|대수]]를 이룬다.
== 대수 ==
선형사상의 합, 스칼라배, [[함수의 합성|합성]]은 여전히 선형사상이다. <math>V</math>에서 <math>W</math>로의 선형사상의 집합은 이 세 연산에 의해 [[대수 (체론)|대수]] <math>\operatorname{Hom}(V,W)</math>를 이룬다.
== 행렬 표현 ==
열벡터 공간 사이의 선형사상과선형사상 <math>x \mapsto Ax</math>와 유사하게, 유한차원 벡터 공간 사이의 선형사상은 행렬로 표현 가능하다. <math>V,W</math>를 각각 <math>F</math> 위의 <math>n,m</math> 차원 벡터 공간, <math>f: V \to W</math>를 둘 사이의 선형사상, <math>\mathcal{A} = \{\alpha_j\}_{j=1}^n,</math> <math>\mathcal{B} = \{\beta_i\}_{i=1}^m</math>을 각각 <math>V,W</math>의 임의의 [[순서기저]]라고 하자. 그러면 <math>f</math>는 <math>f(\alpha_j)</math>들에 의해 결정되고, <math>f(\alpha_j)</math>들은 <math>\{\beta_i\}_{i=1}^m</math>들의 선형결합으로 유일하게 표현된다. 따라서 <math>f</math>는
:<math>f(\alpha_j) = \sum_{i=1}^m a_M_{ij}\beta_i</math>
을 만족하는 ''m'' × ''n'' 행렬 <math>AM = [a_M_{ij}]</math>에 의해 결정된다. <math>AM</math>를을 <math>\mathcal{\alpha_j\A}, \mathcal{\beta_i\B}</math>에 관한 <math>f</math>의 '''표현행렬'''이라고 한다. 반대로선형사상과 임의의표현행렬 ''m''간의 × ''n'' 행렬관계는, <math>A</math>도 위의 공식을 통해 어떤 선형사상\operatorname{Hom}(V, <math>fW)</math>을 확정하므로, 이 같은 관계는 두 벡터 공간 사이의 선형사상과,와 <math>F^{m\times n}</math> 위의 ''m'' × ''n'' 행렬 간의사이의 일대일 대응이다. 주의할 점은, 표현행렬이 기저의 선택과도 연관이 있다는 것이다.
선형사상의 대응법칙은 표현행렬을 통해 구체적으로 기술할 수 있다. 위의 예에서, 벡터 <math>\alpha \in V</math>의 <math>\mathcal{\alpha_j\A}</math>에 관한 좌표가 (열벡터) <math>x</math>이라면, 상 <math>f(\alpha) \in W</math>의 좌표는 <math>AxMx</math>이다. 선형사상 <math>g: V \to W</math>의 같은 기저에 관한 표현행렬이 <math>N</math>이면, <math>c_1f + c_2g</math>의 표현행렬은 <math>c_1M + c_2N</math>이다. 선형사상 <math>h: W \to Z</math>의 기저 <math>\mathcal{B}, \mathcal{C}</math>에 관한 표현행렬이 <math>H</math>라면, <math>h \circ f</math>의 <math>\mathcal{A}, \mathcal{C}</math>에 관한 표현행렬은 <math>HM</math>이다. 위 논증에 따라 <math>\operatorname{Hom}(V,W)</math>는 벡터 공간 <math>F^{m \times n}</math>과 동형이다. 선형변환의 경우, 표현행렬은 정사각행렬이며, 언급한 동형은 두 [[대수 (체론)|대수]] 간의 동형이다.
선형사상기저가 <math>f[[기저의 변경|변경]]되면,g: V표현행렬도 \to바뀔 W</math>의수 (어떤 기저에 관한) 표현행렬이있다. <math>A,B</math>이면, <math>f + gV</math>의 표현행렬은기저가 <math>\mathcal{A + B}</math>이고,가 <math>cf</math>(<math>c</math>는 스칼라)의 표현행렬은행렬 <math>cAP</math>이다.에 두 선형사상의해 <math>f: V \to W,mathcal{A}'</math>로, <math>g: W \to Z</math>의 표현행렬이기저 <math>A,\mathcal{B}</math>라면,가 <math>g \circ fQ</math>의에 표현행렬은의해 <math>BA\mathcal{B}'</math>이다.로 위의 논증에 따라변경된다면, 선형변환의 대수선형사상 <math>\operatorname{Hom}(V,W)f</math>는의 ''m'' × ''n'' 행렬의 대수와 [[동형 사상|동형]]이다.표현행렬은
:<math> B = Q^{-1} APMP</math> ▼기저가 [[기저의 변경|변경]]되면, 표현행렬도 바뀔 수 있다. <math>V</math>의 기저 <math>\{\alpha_j\}</math>가 기저변경행렬 <math>P</math>에 의해 <math>\{\alpha_j'\}</math>로 변경되고, <math>W</math>의 기저 <math>\{\beta_i\}</math>가 <math>Q</math>에 의해 <math>\{\beta_i'\}</math>로 변경된다면, 선형사상 <math>f</math>의 <math>\{\alpha_j\}, \{\beta_i\}</math>에 관한 표현행렬 <math>A</math>와 <math>\{\alpha_j'\}, \{\beta_i'\}</math>에 관한 표현행렬 <math>B</math>는 다음 관계식이 성립한다.
로 변경된다. 이는 <math>M</math>과 [[동치행렬|동치]]인 행렬이다. 선형변환의 경우, 일반적으로 정의역과 공역의 기저를 같게 두며(<math>\mathcal{A} = \mathcal{B}</math>), 기저변경 후의 표현행렬은 <math>A</math>와 [[닮음행렬|닮은]]
▲:<math>B = Q^{-1}AP</math>
:<math>P^{-1}MP</math>
따라서 <math>A,B</math>는 [[동치행렬]]이다. 선형변환의 경우, 일반적으로 간단히 기저 하나만을 가지고 표현행렬을 논하며, <math>B = P^{-1}AP</math>, 즉 <math>A,B</math>는 [[닮음행렬]]이다.
이다.
== 행렬 표현의 예 ==
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