선형 변환: 두 판 사이의 차이

열벡터 공간 사이의 선형사상 <math>x \mapsto Mx</math>와 유사하게, 유한차원 벡터 공간 사이의 선형사상은 행렬로 표현 가능하다. <math>V,W</math>를 각각 <math>F</math> 위의 <math>n,m</math> 차원 벡터 공간, <math>f: V \to W</math>를 둘 사이의 선형사상, <math>\mathcal{A} = \{\alpha_j\}_{j=1}^n,</math> <math>\mathcal{B} = \{\beta_i\}_{i=1}^m</math>을 각각 <math>V,W</math>의 임의의 [[순서기저]]라고 하자. 그러면 <math>f</math>는 <math>f(\alpha_j)</math>들에 의해 결정되고, <math>f(\alpha_j)</math>들은 <math>\{\beta_i\}_{i=1}^m</math>들의 선형결합으로 유일하게 표현된다. 따라서 <math>f</math>는

선형사상의 대응법칙은작용규칙은 표현행렬을 통해 구체적으로 기술할 수 있다. 위의 예에서, 벡터 <math>\alpha \in V</math>의 <math>\mathcal{A}</math>에 관한 좌표가 (열벡터) <math>x</math>이라면, 상 <math>f(\alpha) \in W</math>의 <math>\mathcal{B}</math>에 관한 좌표는 <math>Mx</math>이다. 즉

:<math>[\alpha_1, \ldots, \alpha_n]\,x \mapsto [\beta_1, \ldots, \beta_m]\,Mx</math>

선형사상 <math>g: V \to W</math>의 같은<math>\mathcal{A}, 기저에\mathcal{B}</math>에 관한 표현행렬이 <math>N</math>이면, <math>c_1f + c_2g</math>의 같은 기저에 관한 표현행렬은 <math>c_1M + c_2N</math>이다. 선형사상 <math>h: W \to Z</math>의 기저 <math>\mathcal{B}, \mathcal{C}</math>에 관한 표현행렬이 <math>H</math>라면, <math>h \circ f</math>의 <math>\mathcal{A}, \mathcal{C}</math>에 관한 표현행렬은 <math>HM</math>이다. 위 논증에 따라 <math>\operatorname{Hom}(V,W)</math>는 벡터 공간 <math>F^{m \times n}</math>과 동형이다. 선형변환의 경우, 표현행렬은 정사각행렬이며, 언급한 동형은 두 [[대수 (체론)|대수]] 간의 동형이다.

로 변경된다. 이는 <math>M</math>과 [[동치행렬|동치]]인 행렬이다. 선형변환의 경우, 일반적으로 정의역과 공역의 기저를 같게 두며(<math>\mathcal{A} = \mathcal{B}</math>), 기저변경 후의 표현행렬은 <math>AM</math>와 [[닮음행렬|닮은]]