2016년 6월 3일 (금) 17:20 판 편집 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 →‎종류 ← 이전 편집		2016년 6월 3일 (금) 17:42 판 편집 편집 취소 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 그로텐디크 아벨 범주를 분리 다음 편집 →
56번째 줄: * <math>I</math>는 [[완전 함자]]이다. 따라서, 임의의 (작은) 아벨 범주는 가군들의 범주로 생각할 수 있으며, 특히 원소나 [[부분 집합]]과 같은 [[집합론]]적·[[가군론]]적 개념을 증명 도중 사용할 수 있다. ~~== 종류 ==~~ ~~'''AB5 범주'''는 다음 조건들을 만족시키는 아벨 범주이다.~~ * [[쌍대 완비 범주]]이다. * [[완전열]]의 [[여과 쌍대 극한]]({{llang\|en\|filtered colimit}})이 존재하며, [[완전열]]을 이룬다. 즉, [[유향 집합]] <math>I</math>의 첨자를 가진 [[짧은 완전열]]들 <math>\{0\to A_i\to B_i\to C_i\to0\}_{i\in I}</math>이 주어졌을 때, 그 [[쌍대 극한]] <math>\textstyle 0\to\varinjlim_{i\in I}A_i\to \varinjlim_{i\in I}B_i\to \varinjlim_{i\in I}C_i\to0</math>이 존재하며 역시 [[짧은 완전열]]을 이룬다. (만약 쌍대 극한들이 존재한다면 이는 일반적으로 오른쪽에서만 완전열을 이룬다. 즉, 이 조건은 위 완전열이 왼쪽에서도 완전하다는 것을 뜻한다.) '''그로텐디크 아벨 범주'''({{llang\|en\|Grothendieck Abelian category}}) <math>\mathcal A</math>는 [[생성 대상]]을 갖는 AB5 범주이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 대상 <math>G\in\mathcal C</math>가 존재한다. * <math>\hom_{\mathcal C}(G,-)\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}</math>는 [[충실한 함자]]이다. ~~모든 그로텐디크 아벨 범주는 다음 성질들을 만족시킨다.~~ * [[완비 범주]]이며, [[쌍대 완비 범주]]이다. * [[단사 대상을 충분히 가지는 범주]]이며, 모든 대상이 [[단사 껍질]]을 갖는다. (그러나 일반적으로 [[사영 대상을 충분히 가지는 범주]]가 아니며, [[사영 덮개]]가 존재하지 않을 수 있다.) * [[단사 대상]]인 [[쌍대 생성 대상]]을 갖는다. * 대상 <math>X</math>의 [[부분 대상]]들의 [[부분 순서 집합]] <math>\operatorname{Sub}(X)</math>의 모든 [[부분 집합]]은 [[상한]]과 [[하한]]을 갖는다. * (가브리엘-포페스쿠 정리 {{llang\|en\|Gabriel–Popescu theorem}}<ref>{{저널 인용 \| last1=Gabriel \| first1=Pierre \| last2=Popesco \| first2=Nicolae \| title=Caractérisation des catégories abéliennes avec générateurs et limites inductives exactes \| mr=0166241 \| 날짜=1964-04-27 \| journal=Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences \| volume=258 \| pages=4188–4190\|mr=0166241\|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4011c/f1826\|언어=fr}}</ref>) <math>\mathcal A</math>의 임의의 [[생성 대상]] <math>U</math>에 대하여, [[표현 가능 함자\|표현 가능]] [[가법 함자]] <math>\mathcal A\to\operatorname{Mod}_{\operatorname{End}_{\mathcal A}(U)},\;X\mapsto\hom_{\mathcal A}(U,X)</math>는 [[충실충만한 함자]]이며, [[왼쪽 수반 함자]]를 가지며, 이 [[왼쪽 수반 함자]]는 [[완전 함자]]이다. 즉, 그로텐디크 아벨 범주는 [[가군]] 범주의 [[반사 부분 범주]]로 여길 수 있다. == 예 == === 아벨 군 === [[아벨 군]]들과 [[군 준동형]]들의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math>는 아벨 범주의 가장 대표적인 예이며, 이는 [[그로텐디크 아벨 ~~범주를~~범주]]를 이룬다. 이는 아벨 범주의 공리들을 다음과 같이 만족시킨다. * <math>\operatorname{Ab}</math>에서 [[영 대상]]은 [[자명군]] <math>\{0\}</math>이다. * <math>\operatorname{Ab}</math>'에서 이진 곱([[직접곱]])과 이진 쌍대곱([[직합]])은 일치한다. (<math>\operatorname{Ab}</math>에서 무한 [[직접곱]]과 무한 [[직합]]은 서로 다를 수 있다.) 줄 80 ⟶ 66: 또한, 아벨 군의 범주의 [[반대 범주]] <math>\operatorname{Ab}^{\operatorname{op}}</math> 역시 아벨 범주를 이룬다. 마찬가지로, 다음과 같은 범주들은 아벨 범주를 이룬다. (그러나 이는 [[그로텐디크 아벨 ~~범주가~~범주]]가 아니다.) * [[유한 생성 아벨 군]]들의 범주 <math>\operatorname{fgAb}</math> * [[유한군\|유한]] [[아벨 군]]들의 범주 <math>\operatorname{finAb}</math> 줄 87 ⟶ 73: === 가군 === 보다 일반적으로, 1을 가진 환 <math>R</math>에 대한 [[왼쪽 가군]]들과 [[가군 준동형]]들의 범주 <math>_R\operatorname{Mod}</math> (또는 [[오른쪽 가군]]들의 범주 <math>\operatorname{Mod}_R\cong{}_{R^{\operatorname{op}}}\operatorname{Mod}</math>)은 [[그로텐디크 아벨 ~~범주를~~범주]]를 이룬다. [[아벨 군]]은 정수 <math>\mathbb Z</math>에 대한 가군이므로, 이는 아벨 군의 범주를 일반화한 것이다. <math>R</math>가 [[왼쪽 뇌터 환]]이라고 하면, 그 위의 [[유한 생성 가군\|유한 생성]] [[왼쪽 가군]]들의 범주 <math>_R\operatorname{fgMod}</math> 역시 아벨 범주이다. === 층 === <math>X</math>가 [[위상 공간 (수학)\|위상 공간]]이라고 하자. 그렇다면, 이 위에 [[아벨 군]] 값을 가진 [[층 (수학)\|층]]들의 범주 <math>\operatorname{Sh}_X^{\operatorname{Ab}}</math> 또한 [[그로텐디크 아벨 ~~범주를~~범주]]를 이룬다. 보다 일반적으로, 임의의 [[위치 (수학)\|위치]] 위의, [[아벨 군]] 값의 [[층 (수학)\|층]]의 범주는 [[그로텐디크 아벨 ~~범주를~~범주]]를 이룬다. 반면, 위상 공간 위에 존재하는 [[벡터 다발]]들의 범주는 아벨 범주가 아니다. 이는 [[핵 (수학)\|핵]]이 아닌 [[단사 사상]]이 존재하기 때문이다. === 가군층 === <math>(X,\mathcal O_X)</math>가 [[환 달린 공간]]이라고 하자. 그렇다면, <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]]들의 범주 <math>\mathcal O_X\text{-Mod}</math>는 [[그로텐디크 아벨 ~~범주를~~범주]]를 이룬다. <math>\mathcal O_X</math>-[[연접층]]들의 범주는 아벨 범주를 이루지만 [[쌍대 완비 범주]]가 아니다. 만약 <math>X</math>가 [[스킴 (수학)\|스킴]]이라면, [[준연접층]]의 범주 <math>\operatorname{QCoh}(X)</math> 역시 [[그로텐디크 아벨 ~~범주를~~범주]]를 이룬다. === 함자 범주 === 줄 124 ⟶ 110: * {{nlab\|id=additive and abelian categories\|title=Additive and abelian categories}} * {{nlab\|id=Freyd-Mitchell embedding theorem}} * {{nlab\|id=Grothendieck category}} * {{nlab\|id=pre-abelian category\|title=Pre-abelian category}} * {{nlab\|id=quasi-abelian category\|title=Quasi-abelian category}}

아벨 범주: 두 판 사이의 차이