연결 공간: 두 판 사이의 차이
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== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''연결 공간'''이라고 한다.
* <math>X</math>의 두 [[열린집합]] <math>U,V\subseteq X</math>에 대하여, <math>U\cup V=X</math>이며 <math>U\cap V=\varnothing</math>이라면, <math>U</math>와 <math>V</math> 가운데 정확히 하나가 [[공집합]]이다.
*
* 만약 <math>X=X_1\cup X_2</math>이며 <math>X_1\cap\operatorname{cl}(X_2)=\operatorname{cl}(X_1)\cap X_2=\varnothing</math>이라면, <math>X_1
* <math>X</math>의 [[열리고 닫힌 집합]](=[[경계 (위상수학)|경계]]가 공집합인 부분 집합)은 정확히 두 개가 있다. (이는 <math>X</math>
* [[공집합]]이 아니며, 모든 [[연속 함수]] <math>X\to\{0,1\}</math>은 [[상수 함수]]이다. 여기서 <math>\{0,1\}</math>은 두 개의 점을 갖는 [[이산 공간]]이다.▼
▲* 모든 [[연속 함수]] <math>X\to\{0,1\}</math>은 [[상수 함수]]이다. 여기서 <math>\{0,1\}</math>은 두 개의 점을 갖는 [[이산 공간]]이다.
연결 공간이 아닌 공간을 '''비연결 공간'''(非連結空間, {{llang|en|disconnected space}})이라고 한다.
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임의의 위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 그 연결 부분 공간들의 집합 포함 관계에 따라서 [[부분 순서 집합]]을 이룬다. 또한, 주어진 점 <math>x_0\in X</math>을 포함하는 모든 연결 부분 공간들의 부분 순서 집합은 [[최대 원소]]를 가지며, 이를 <math>x_0</math>의 '''연결 성분'''(連結成分, {{llang|en|connected component}})이라 한다. 각 연결 성분들은 [[서로소 집합|서로소]]이며, <math>X</math>는 그 연결 성분들의 [[서로소 합집합]]이다.
연결 성분은 항상 [[
=== 경로 연결 공간 ===
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== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=James R.|성=Munkres|저자고리=제임스 멍크레스|제목=Topology|isbn=978-013181629-9|판=
== 바깥 고리 ==
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