"완비 격자"의 두 판 사이의 차이

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== 정의 ==
[[원순서 집합]]은 [[작은 범주|작은]] [[얇은 범주]]로 간주할 수 있다. [[원순서 집합]] <math>(L,\lesssim)</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이 조건을 만족시키는 원순서 집합 <math>L</math>을 '''상완비 원격자'''({{llang|en|upper-complete prelattice}})라고 한다.
[[부분 순서 집합]] <math>(L,\le)</math>가 다음 두 조건을 만족시킨다면, '''완비 격자'''라고 한다.
* <math>L</math>은 모든 부분 집합 <math>S\subseteq L</math>의 [[상한]]이 존재한다. 이를(이러한 상한은 유일하지 않을 수 있지만 항상 서로 동치이다.) (특히, <math>S=\bigvee Svarnothing</math>라고 쓰고,경우 부분<math>L</math>은 집합의[[최소 '''이음'''({{llang|en|join}})이라고원소]]를 한다갖는다.)
* <math>L</math>은 [[쌍대 완비 범주]]이다.
* 모든 부분 집합 <math>S\subseteq L</math>의 [[하한]]이 존재한다. 이를 <math>\bigwedge S</math>라고 쓰고, 부분 집합의 '''만남'''({{llang|en|meet}})이라고 한다.
'''완비상완비 격자원격자 사상'''({{llang|en|upper-complete latticeprelattice morphism}})은 모든이러한 이음과 만남을상한들을 보존하는 함수이다.
 
마찬가지로, [[원순서 집합]] <math>(L,\lesssim)</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이 조건을 만족시키는 원순서 집합 <math>L</math>을 '''하완비 원격자'''({{llang|en|lower-complete prelattice}})라고 한다.
'''완비 격자 사상'''({{llang|en|complete lattice morphism}})은 모든 이음과 만남을 보존하는 함수이다.
* <math>L</math>은 모든 부분 집합 <math>S\subseteq L</math>의 [[하한]]이 존재한다. (이러한 하한은 유일하지 않을 수 있지만 항상 서로 동치이다.) (특히, <math>S=\varnothing</math>일 경우 <math>L</math>은 [[최대 원소]]를 갖는다.)
* <math>L</math>은 [[완비 범주]]이다.
'''하완비 원격자 사상'''({{llang|en|lower-complete prelattice morphism}})은 이러한 하한들을 보존하는 함수이다.
 
이 두 조건을 모두 만족시키는 [[원순서 집합]]을 '''완비 원격자'''({{llang|en|complete prelattice}})라고 한다. '''완비 원격자 사상'''({{llang|en|complete prelattice morphism}})은 모든 이음과 만남을 보존하는 함수이다.
 
[[부분 순서 집합]]인 완비 원격자를 '''완비 격자'''라고 한다. 이 경우 상한과 하한이 유일하게 존재한다. 격자 이론에서는 부분 집합 <math>S</math>의 [[상한]]을 통상적으로 '''이음'''({{llang|en|join}}) <math>\textstyle\bigvee S</math>이라고 부르며, 부분 집합 <math>S</math>의 [[하한]]을 '''만남'''({{llang|en|meet}}) <math>\textstyle\bigwedge S</math>이라고 한다. 완비 격자의 사상은 두 완비 격자 사이의 완비 원격자 사상이다.
 
== 성질 ==
* {{eom|title=Complete lattice}}
* {{매스월드|id=CompleteLattice|title=Complete lattice}}
* {{웹 인용nlab|urlid=http://ncatlab.org/nlab/show/complete+ lattice|제목title=Complete lattice|웹사이트=nLab|언어=en}}
 
[[분류:격자 이론]]