완비 격자: 두 판 사이의 차이
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== 정의 ==
[[원순서 집합]]은 [[작은 범주|작은]] [[얇은 범주]]로 간주할 수 있다. [[원순서 집합]] <math>(L,\lesssim)</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이 조건을 만족시키는 원순서 집합 <math>L</math>을 '''상완비 원격자'''({{llang|en|upper-complete prelattice}})라고 한다.
* <math>L</math>은 모든 부분 집합 <math>S\subseteq L</math>의 [[상한]]이 존재한다.
* <math>L</math>은 [[쌍대 완비 범주]]이다.
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마찬가지로, [[원순서 집합]] <math>(L,\lesssim)</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이 조건을 만족시키는 원순서 집합 <math>L</math>을 '''하완비 원격자'''({{llang|en|lower-complete prelattice}})라고 한다.
▲'''완비 격자 사상'''({{llang|en|complete lattice morphism}})은 모든 이음과 만남을 보존하는 함수이다.
* <math>L</math>은 모든 부분 집합 <math>S\subseteq L</math>의 [[하한]]이 존재한다. (이러한 하한은 유일하지 않을 수 있지만 항상 서로 동치이다.) (특히, <math>S=\varnothing</math>일 경우 <math>L</math>은 [[최대 원소]]를 갖는다.)
* <math>L</math>은 [[완비 범주]]이다.
'''하완비 원격자 사상'''({{llang|en|lower-complete prelattice morphism}})은 이러한 하한들을 보존하는 함수이다.
이 두 조건을 모두 만족시키는 [[원순서 집합]]을 '''완비 원격자'''({{llang|en|complete prelattice}})라고 한다. '''완비 원격자 사상'''({{llang|en|complete prelattice morphism}})은 모든 이음과 만남을 보존하는 함수이다.
[[부분 순서 집합]]인 완비 원격자를 '''완비 격자'''라고 한다. 이 경우 상한과 하한이 유일하게 존재한다. 격자 이론에서는 부분 집합 <math>S</math>의 [[상한]]을 통상적으로 '''이음'''({{llang|en|join}}) <math>\textstyle\bigvee S</math>이라고 부르며, 부분 집합 <math>S</math>의 [[하한]]을 '''만남'''({{llang|en|meet}}) <math>\textstyle\bigwedge S</math>이라고 한다. 완비 격자의 사상은 두 완비 격자 사이의 완비 원격자 사상이다.
== 성질 ==
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[[분류:격자 이론]]
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