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상한과 하한: 두 판 사이의 차이

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== 정의 ==
=== 상계와 하계 ===
[[부분 순서원순서 집합]] <math>(P,\lesssim)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subset P</math>의 '''상계'''(上界, {{llang|en|upper bound}}) <math>p\in P</math>는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.
* 모든 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>s\le p</math>이다.▼
* 모든 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>s\lesssim p</math>이다.
[[부분 순서원순서 집합]] <math>(P,\lesssim)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subset P</math>의 '''하계'''(下界, {{llang|en|lower bound}}) <math>p\in P</math>는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.
* 모든 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>s\legtrsim p</math>이다.
 
=== 상한과 하한 ===
[[부분 순서 집합]] <math>P</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subset P</math>의 '''상한''' <math>s\in P</math>는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.▼
*[[원순서 모든집합]] <math>p(P,\in Plesssim)</math>에의 대하여,[[부분 만약집합]] <math>p</math>가S\subset <math>SP</math>의 상계라면,'''상한''' <math>ps\lein sP</math>이다는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.
* 모든 <math>p\in P</math>에 대하여, 만약 <math>p</math>가 <math>S</math>의 상계라면, <math>p\lesssim s</math>이다.
즉, 어떤 집합의 상한은 그 상계들의 부분 순서 집합의 [[최소 원소]]이다. 마찬가지로, [[부분 순서 집합]] <math>P</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subset P</math>의 '''하한''' <math>i\in P</math>는 반대 순서 <math>P^{\operatorname{op}}=(P,\ge)</math>에서의 상한이다. 즉, 어떤 집합의 하계들의 부분 순서 집합의 [[최대 원소]]이다.
▲[[부분 순서원순서 집합]] <math>(P,\lesssim)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subset P</math>의 '''상한하한''' <math>si\in P</math>는 다음 성질을 만족시키는 원소이다.
▲* 모든 <math>sp\in SP</math>에 대하여, 만약 <math>p</math>가 <math>S</math>의 하계라면, <math>si\legtrsim p</math>이다.
즉, 어떤 집합의 상한은 그 상계들의 집합의 [[최소 원소]]이며, 하한은 그 하계들의 집합의 [[최대 원소]]이다.
 
모든 부분 집합이 상한과 하한을 갖는 [[부분 순서 집합]]을 '''[[완비 격자]]'''라고 한다.
[[최소 원소]] 및 [[최대 원소]]는 유일하므로, 어떤 집합의 상한 또는 하한은 만약 존재한다면 유일하다. 집합 <math>S</math>의 상한은 <math>\sup S</math>로, 하한은 <math>\inf S</math>로 쓴다.▼
 
== 성질 ==
임의의 [[원순서 집합]]에서, 정의에 따라, [[공집합]] <math>\varnothing\subseteq P</math>의 상한은 (만약 존재한다면) <math>P</math>의 [[최소 원소]]이며, [[공집합]] <math>\varnothing\subseteq P</math>의 하한은 (만약 존재한다면) <math>P</math>의 [[최대 원소]]이다.
 
=== 유일성 ===
원순서 집합의 [[최소 원소]]들은 서로 동치이며, 따라서 어떤 집합의 상한의 [[동치류]]는 (만약 존재한다면) 유일하다. 이는 하한도 마찬가지다.
 
▲만약 <math>P</math>가 [[부분 순서 집합]]이라면, [[최소 원소]] 및 [[최대 원소]]는 유일하므로유일하며, 이 경우 어떤 집합의 상한 또는 하한은 만약 존재한다면 유일하다. 이 경우 집합 <math>S</math>의 상한은 <math>\sup S</math> 또는 <math>\textstyle\bigvee S</math>로, 하한은 <math>\inf S</math> 또는 <math>\textstyle\bigwedge S</math>로 쓴다.
 
=== 존재 ===
[[부분 순서 집합]]의 [[부분 집합]] <math>S</math>가 [[최대 원소]] <math>\max S</math>를 갖는다면, 이 집합은 상한을 가지며, <math>\sup S=\max S</math>이다. 마찬가지로, 만약 최소 원소가 존재한다면 하한이 존재하며, 최소 원소와 하한은 같다.
 
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/상한과_하한"