불 대수: 두 판 사이의 차이
내용 삭제됨 내용 추가됨
Osteologia (토론 | 기여) 잔글 →범주론적 정의 |
Osteologia (토론 | 기여) 편집 요약 없음 |
||
37번째 줄:
=== 환론적 정의 ===
'''불 대수''' <math>(B,\cdot,+,0,1)</math>는 다음 성질을 만족시키는 (단위원을 갖는) [[가환환]]이다.
* 모든 원소가 [[멱등원]]이다. 즉, 모든 <math>x\in B</math>에 대하여, <math>x^2=x</math>이다.
'''불 대수 준동형'''은 두 불 대수 사이의 [[환 준동형]]이다.
{| class="wikitable"▼
|-▼
|-▼
|-▼
|-▼
|-▼
|-▼
| <math>1</math> || <math>\top</math> || 참▼
|-▼
|}▼
=== 위상수학적 정의 ===
줄 91 ⟶ 76:
*:<math>0^{X\times Y}\cong 0^X\sqcup 0^Y</math>
여기서 <math>\times</math>는 [[곱 (범주론)|범주론적 곱]]이며, <math>\sqcup</math>는 [[쌍대곱]]이며, <math>0</math>은 [[시작 대상]]이며, <math>A^B</math>는 [[지수 대상]]이다.
=== 서로 다른 정의들의 비교 ===
불 대수의 서로 다른 정의들은 다음과 같이 대응된다.
▲{| class="wikitable" style="text-align: center"
▲|-
! 해석 !! 가환환 !! 격자 !! [[직교 여원 격자]] !! [[헤이팅 대수]] !! 스톤 공간 <math>X</math>의 부분 집합 || 범주론적 정의
▲|-
| [[논리곱]] || 곱 <math>x\cdot y</math>
| colspan=3| 만남 <math>x\land y</math> || [[교집합]] <math>x\cap y</math> || [[곱 (범주론)|곱]] <math>x\times y</math>
▲|-
| [[배타적 논리합]] || 합 <math>x+y</math> || <math>x\land y\land c=\bot</math>, <math>(x\land y)\lor c=\top</math>라면, <math>(x\lor y)\land c</math> || <math>(x\lor y)\land\lnot(x\land y)</math> || <math>(x\lor y)\land\left((x\land y)\Rightarrow\bot\right)</math> || <math>(x\setminus y)\cup(y\setminus x)</math> || <math>(x\times0^y)\sqcup(y\times0^x)</math>
▲|-
| colspan=3 | 이음 <math>x\lor y</math> || [[합집합]] <math>x\cup y</math> || [[쌍대곱]] <math>x\sqcup y</math>
▲|-
| 거짓 || 덧셈 항등원 <math>0</math>
| colspan=3 | [[최소 원소]] <math>\bot</math> || [[공집합]] <math>\varnothing</math> || [[시작 대상]] <math>0</math>
▲|-
| 참 || 곱셈 항등원 <math>1</math>
| colspan=3 | [[최대 원소]] <math>\top</math> || 전체 집합 <math>X</math> || [[끝 대상]] <math>1</math>
▲|-
| 부정 || 덧셈 역원 <math>-x</math> || <math>x\land c=\bot</math>, <math>x\lor c=\top</math>인 유일한 <math>c</math> || [[직교 여원 격자|직교 여원]] <math>\lnot x</math> || <math>x\Rightarrow\bot</math> || [[여집합]] <math>X\setminus x</math> || [[지수 대상]] <math>0^x</math>
|-
| [[함의]] || <math>y-x-xy</math> || <math>x\land c=\bot</math>, <math>x\lor c=\top</math>라면, <math>c\lor y</math> || <math>\lnot x\lor y</math> || <math>x\Rightarrow y</math> || <math>(X\setminus x)\cup y</math> || [[지수 대상]] <math>y^x</math>
▲|}
== 성질 ==
| |||