순서수: 두 판 사이의 차이

내용 삭제됨 내용 추가됨
토막글 극한 순서수따름 순서수를 합침. 극한점집적접으로 교정
4번째 줄:
[[집합론]]에서, '''순서수'''(順序數, {{llang|en|ordinal}})는 [[정렬 집합]]들의 "길이"를 측정하는 [[수 (수학)|수]]의 일종이다. [[자연수]]를 확장하며, [[자연수]]들의 정렬 집합과 같은 무한 정렬 집합들의 크기를 측정하는 무한 순서수들이 존재한다.
 
== 개론 ==
[[자연수]]는 집합의 크기를 표현하기 위해 사용되기도 하고, 순서대로 늘어선 [[수열]]에서 원소의 위치를 나타내기 위해 사용되기도 한다. 이 두 쓰임새는 [[유한 집합]]의 경우 크게 다르지 않으나, [[무한 집합]]의 경우에는 이 구분이 중요해진다. 전자를 확장한 것이 [[기수 (수학)|기수]]이고, 후자를 확장한 것이 순서수이다.
 
기수는 아무런 구조도 갖지 않는 집합에 대해서도 부여할 수 있지만, 순서수는 [[정렬 집합]]에 대해서만 정의되며, 실제로 정렬 순서의 개념과 순서수의 개념에는 매우 밀접한 관련이 있다. 간단히 말해, [[정렬 순서]]란 무한히 감소하는 수열이 존재하지 않는 [[전순서]]를 말한다. (물론 무한히 증가하는 수열은 존재할 수 있다.) 임의의 [[전순서 집합]]에 대해 가장 작은 원소를 0이라 하고 그 다음 원소를 1이라 하는 식으로 그 집합의 원소들을 순서수를 이용해 순서매길 수 있으며, 또한 이 집합의 "길이"를 여기에서 집합의 원소에 대응되지 않는 가장 작은 순서수로 정의할 수 있다. 이 "길이"를 집합의 [[순서형]](order type)이라고 한다.
 
== 정의 ==
=== 동치류를 이용한 정의 ===
기수를 모든 집합의 [[전단사 함수]]에 대한 [[동치류]]로 정의할 수 있는 것처럼, 순서수는 모든 [[정렬 집합]]의 순서 동형에 대한 [[동치류]]로 정의할 수 있다. 그러나 이러한 정의에 따르면 각 순서수는 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서는 집합이 아니며, [[고유 모임]]이 되므로 기술적으로 문제가 있다. (예를 들어, 순서수의 모임 <math>\operatorname{Ord}</math>는 [[고유 모임]]들을 원소를 가져야 하므로 정의할 수 없다.)
 
줄 22 ⟶ 21:
 
== 연산 ==
순서수들에 대해 덧셈, · 곱셈, 지수· 거듭제곱 연산을 정의하는 것이 가능하다. 각 연산은 연산 결과에 해당하는 [[정렬 집합]]을 직접 만들어내는 방법으로 정의할 수도 있고, [[초한귀납법초한 귀납법]]을 이용해 정의할 수도 있다. 유한 순서수의 경우, 순서수로서의 연산은 [[기수 (수학)|기수]]로서의 연산 및 [[자연수]]로서의 연산과 일치한다. 무한 순서수의 경우, 순서수의 연산은 [[극한 기수]]로서의 연산과 현저히 다르다.
 
두 [[정렬 집합]] <math>(S,\le)</math>와 <math>(T,\le)</math>가 주어졌다고 하고, <math>S</math>의 순서형이 <math>\alpha</math>, <math>T</math>의 순서형이 <math>\beta</math>라고 하자. (폰 노이만 정의에서는 <math>S=\alpha</math>, <math>T=\beta</math>로 놓을 수 있다.)
줄 31 ⟶ 30:
그렇다면 순서수의 '''합''' <math>\alpha+\beta</math>는 <math>S\sqcup T</math>의 순서형이다.
 
폰 노이만 정의에서, 순서수의 합은 마찬가지로 다음과 같이 [[초한귀납법초한 귀납법]]으로 정의할 수도 있다.
* <math>\alpha + 0 = \alpha</math>
* <math>\alpha + (\beta +1 ) = (\alpha + \beta ) + 1</math>
줄 39 ⟶ 38:
[[곱집합]] <math>S\times T</math>에 [[사전식 순서]]를 주자. 그렇다면 순서수의 '''곱''' <math>\alpha\beta</math>는 <math>S\times T</math>의 순서형이다.
 
폰 노이만 정의에서, 순서수의 곱은 마찬가지로 다음과 같이 [[초한귀납법초한 귀납법]]으로 정의할 수도 있다.
* <math>\alpha 0 =0 </math>
* <math>\alpha(\beta +1 ) = \alpha\beta + \alpha</math>
줄 133 ⟶ 132:
:<math>(\omega+1)2=\omega+1+\omega+1=\omega2+1<\omega2+2</math>
 
== 분류종류 ==
=== 극한 순서수와 따름 순서수 ===
모든 순서수들은 0 또는 [[따름 순서수]] 또는 [[극한 순서수]]로 분류된다.
모든 순서수들은 [[따름 순서수]](-順序數, {{llang|en|successor ordinal}}) 또는 [[극한 순서수]](極限順序數, {{llang|en|limit ordinal}})로 분류된다. (일부 문헌에서는 0을 극한 순서수에서 제외하기도 한다.) 이들은 [[초한 귀납법]]을 적용할 때 보통 개별적으로 다룬다.
 
순서수 <math>\alpha</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 순서수를 '''극한 순서수'''라고 하며, 이를 만족시키지 않는 순서수를 '''따름 순서수'''라고 한다.
* <math>\alpha=\beta+1</math>인 순서수 <math>\beta</math>가 존재하지 않는다.
* <math>\sup\{\beta\in\operatorname{Ord}\colon\beta<\alpha\}=\alpha</math>이다. (물론 <math>\sup\varnothing=0</math>으로 놓는다.)
* 폰 노이만 정의에서, <math>\alpha</math>는 [[최대 원소]]를 갖지 않는다.
* <math>\alpha=\omega\beta</math>인 순서수 <math>\beta</math>가 존재한다.
* 폰 노이만 정의에서, 임의의 순서수 <math>\beta>\alpha</math>에 대하여 <math>\beta</math>에 [[순서 위상]]을 부여하였을 때, <math>\alpha\in\beta</math>는 <math>\beta</math>의 [[극한점|집적점]]이거나 <math>\alpha=0</math>이다. 즉, <math>\alpha\ne0</math>라면 <math>\alpha</math>의 모든 [[근방]]은 [[무한 집합]]이다.
 
예를 들어, 순서수들
:0, 1, 2, ... , ω, ω+1
가운데, 1, 2, …, ω+1 는 따름 순서수이며, 0과 ω는 극한 순서수이다.
 
=== 유한 순서수 ===
줄 171 ⟶ 182:
 
== 역사 ==
[[게오르크 칸토어]]가 1883년에 도입하였다.<ref>{{서적 인용|성=Cantor|이름=Georg|저자고리=게오르크 칸토어|날짜= 1883|제목=Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre|위치=Leipzig|jfm=15.0453.01|언어=de}}</ref> 원래 순서수의 [[동치류]]로서의 정의는 [[고유모임고유 모임]]이므로 집합론적인 결함이 있었으며, 1923년에 [[존 폰 노이만]]이 오늘날 쓰이는 정의를 도입하였다.<ref name="vN"/>
 
정규 함수의 개념과 베블런 고정점 정리는 [[오즈월드 베블런]]이 1908년에 도입하였다.<ref name="Veblen">{{저널 인용|제목=Continuous increasing functions of finite and transfinite ordinals|jstor=1988605|doi=10.1090/S0002-9947-1908-1500814-9|저널=Transactions of the American Mathematical Society|이름=Oswald|성=Veblen|저자고리=오즈월드 베블런|권=9|날짜=1908-07|쪽=280–292|issn=0002-9947|언어=en}}</ref> 베블런은 정규 함수를 "연속 증가 함수"({{llang|en|continuous increasing function}})라고 불렀다.<ref name="Veblen"/>{{rp|281, §1}}