선택 공리: 두 판 사이의 차이
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1904년에 [[에른스트 체르멜로]]는 [[정렬 정리]]를 보다 더 자명한 원리로부터 유도하기 위하여 선택 공리를 도입하였고, 이를 통해 [[정렬 정리]]를 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Ernst|성=Zermelo|저자고리=에른스트 체르멜로|제목=Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann. (Aus einem an Herrn Hilbert gerichteten Briefe)|저널=Mathematische Annalen|권=59|호=4|쪽=514–516|날짜=1904|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002260018|doi=10.1007/BF01445300|issn=0025-5831|jfm=35.0088.03|언어=de}}</ref>
1923년에 다비트 힐베르트는 일종의 선택 연산을 포함한 논리 체계를 제시하였다.<ref>{{저널 인용|성=Hilbert|이름=David|저자고리=다비트 힐베르트|날짜=1923|제목=Die logischen Grundlagen der Mathematik|저널=Mathematische Annalen|권= 88|쪽=151-165|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002269139|issn=0025-5831|jfm=48.1120.01|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Hilbert|이름=David|저자고리=다비트 힐베르트|날짜=1925|제목=Über das Unendliche|저널=Mathematische Annalen|권=95|쪽=161–190|jfm=51.0044.02|issn=0025-5831|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002270641|언어=de}}</ref> 힐베르트는 이 기호를 <math>\epsilon</math>이라고 표기하였다. 예를 들어, 술어 <math>P(x)</math>에 대하여 <math>\epsilon(P)</math>는 (만약 <math>\exists xP(x)</math>라면) <math>P(\epsilon(P))</math>를 만족시키는 집합이다. 이와 유사하게, [[니콜라 부르바키]]는 1954년에 집합론 교재에서 선택 연산 <math>\tau</math>를 사용하였다.<ref>{{서적 인용|제목=Éléments de mathematique. Théorie des ensembles. Chapitre 1. Description de la mathématique formelle|이름=Nicolas|성=Bourbaki|저자고리=니콜라 부르바키|날짜=1954|판=1|출판사=Hermann et compagnie|zbl=0055.27902|언어=fr}}</ref>
1924년에 [[알프레트 타르스키]]는 타르스키 정리(선택 공리가 모든 무한 집합 <math>X</math>에 대하여 <math>|X|=|X^2|</math>인 것과 동치)를 프랑스의 한 유명 저널에 출판하려 하였는데, 이때 원고를 심사한 [[모리스 르네 프레셰]]는 "자명하게 참인 두 명제의 동치는 출판될 가치가 없다"고 답변하였고, 반면 같은 원고를 심사한 [[앙리 르베그]]는 "자명하게 거짓인 두 명제의 동치는 출판될 가치가 없다"고 답변하였다고 한다.<ref>{{저널 인용|제목=A system of axioms of set theory for the rationalists|이름=Jan|성=Mycielski|url=http://www.ams.org/notices/200602/fea-mycielski.pdf|저널=Notices of the American Mathematical Society|날짜=2006-02|권=53|호=2|쪽=206–213|zbl=1102.03050|언어=en}}</ref>{{rp|209}} 타르스키는 결국 논문을 타 저널에 출판하였다.<ref name="Tarski"/>▼
▲1924년에 [[알프레트 타르스키]]는 타르스키 정리(선택 공리가 모든 무한 집합 <math>X</math>에 대하여 <math>|X|=|X^2|</math>인 것과 동치)를 프랑스의 한 유명 저널에 출판하려 하였는데, 이때 원고를 심사한 [[모리스 르네 프레셰]]는 "자명하게 참인 두 명제의 동치는 출판될 가치가 없다"고 답변하였고, 반면 같은 원고를 심사한 [[앙리 르베그]]는 "자명하게 거짓인 두 명제의 동치는 출판될 가치가 없다"고 답변하였다고 한다.<ref>{{저널 인용|제목=A system of axioms of set theory for the rationalists|이름=Jan|성=Mycielski|url=http://www.ams.org/notices/200602/fea-mycielski.pdf|저널=Notices of the American Mathematical Society|날짜=2006-02|권=53|호=2|쪽=206–213|zbl=1102.03050|언어=en}}</ref>{{rp|209}} 타르스키는 결국 논문을 타 저널에 출판하였다.<ref name="Tarski"/>
▲1923년에 다비트 힐베르트는 일종의 선택 연산을 포함한 논리 체계를 제시하였다.<ref>{{저널 인용|성=Hilbert|이름=David|저자고리=다비트 힐베르트|날짜=1923|제목=Die logischen Grundlagen der Mathematik|저널=Mathematische Annalen|권= 88|쪽=151-165|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002269139|issn=0025-5831|jfm=48.1120.01|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Hilbert|이름=David|날짜=1925|제목=Über das Unendliche|저널=Mathematische Annalen|권=95|쪽=161–190|jfm=51.0044.02|issn=0025-5831|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002270641|언어=de}}</ref> 힐베르트는 이 기호를 <math>\epsilon</math>이라고 표기하였다. 예를 들어, 술어 <math>P(x)</math>에 대하여 <math>\epsilon(P)</math>는 (만약 <math>\exists xP(x)</math>라면) <math>P(\epsilon(P))</math>를 만족시키는 집합이다. 이와 유사하게, [[니콜라 부르바키]]는 1954년에 집합론 교재에서 선택 연산 <math>\tau</math>를 사용하였다.<ref>{{서적 인용|제목=Éléments de mathematique. Théorie des ensembles. Chapitre 1. Description de la mathématique formelle|이름=Nicolas|성=Bourbaki|저자고리=니콜라 부르바키|날짜=1954|판=1|출판사=Hermann et compagnie|zbl=0055.27902|언어=fr}}</ref>
1938년에 [[쿠르트 괴델]]은 [[내부 모형]] 이론을 사용하여, 선택 공리가 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]과 일관적임을 보였다.<ref>{{저널 인용 | doi = 10.1073/pnas.24.12.556 | 저자고리=쿠르트 괴델 | 이름=Kurt | 성=Gödel | 제목 = The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis | 저널 = Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America | 날짜 = 1938 | pmid = 16577857 | pmc = 1077160 | jstor=87239 | zbl = 0020.29701 | jfm = 64.0035.01 |언어=en}}</ref> 구체적으로, [[구성 가능 전체]] <math>L</math>은 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 [[구조 (논리학)|모형]]이며, 이 모형에서는 선택 공리가 성립한다. [[폴 코언]]은 [[강제법]]을 사용하여 선택 공리의 부정이 체르멜로-프렝켈 집합론과 일관적임을 보였다.
의존적 선택 공리는 1942년에 [[파울 베르나이스]]가 도입하였다.<ref>{{저널 인용|mr=6333 |last=Bernays|first= Paul | 저자고리=파울 베르나이스 |title=A system of axiomatic set theory. Part III. Infinity and enumerability. Analysis |journal=The Journal of Symbolic Logic |volume=7|호=2|날짜=1942-06|pages= 65–89|jstor=2266303|doi=10.2307/2266303|issn=0022-4812|zbl=0061.09201|언어=en}}</ref>
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