2015년 3월 7일 (토) 18:41 판 편집 Hwangjy9 (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자, 일괄 되돌리기 기능 사용자 5,006 편집 →‎정의: 링크 교정 태그: 시각 편집 ← 이전 편집		2016년 8월 10일 (수) 21:06 판 편집 편집 취소 慈居 (토론 \| 기여) 장기인증된 사용자 18,486 편집 편집 요약 없음 다음 편집 →
1번째 줄: [[수학]]에서, '''~~동치 관계~~동치관계'''(同値關係, {{llang\|en\|equivalence relation}})는 ~~등호와~~[[논리적 같은동치]]와 비슷한 성질들을 만족시키는 [[~~이항 관계~~이항관계]]이다. == 정의 == 집합 <math>X</math> 위의 '''~~동치 관계~~동치관계''' <math>\sim</math>는 [[반사관계]]이자 [[대칭관계]]이자 [[추이관계]]인 [[~~이항 관계~~이항관계]]이다. 즉, 다음 조건들이 성립하여야 한다. * ([[반사관계]]) 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>x\sim x</math> * ([[대칭관계]]) 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x\sim y</math>라면, <math>y\sim x</math> * ([[추이관계]]) 임의의 <math>x,y,z\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x\sim y</math>이고 <math>y\sim z</math>라면 <math>x\sim z</math> === 동치류와 몫집합 === 집합 <math>X</math> 위에 ~~동치 관계~~동치관계 <math>\sim</math>이 주어졌을 때, 원소 <math>x\in X</math>의, ~~동치 관계~~동치관계 <math>\sim</math>에 대한 '''동치류'''(同値類, {{llang\|en\|equivalence class}})는 다음과 같다같은 집합이다. :<math>[x] = \{y \in X \colon x \sim y \}</math> 집합 <math>X</math>의 <math>\sim</math>에 대한 모든 동치류들의 집합 :<math>X/{\sim}=\{[x]\colon x\in X\}</math> 을 <math>X</math>의 <math>\sim</math>에 대한 '''몫집합'''(-集合, {{llang\|en\|quotient set}})이라고 한다. == 예 == * ~~[[정수]],~~임의의 ~~[[유리수]], [[실수]]~~집합 등의위의 [[등식\|등호]] 관계 * 도형 ~~집합에서의~~집합 위의 [[닮음]] 관계 * 사람들의 ~~집합에서~~집합 위의, 같은 [[생일]]을 갖는 관계 == 반례 == ~~=== 동치 관계가 아닌 예 ===~~ * 공집합이 아닌 집합 <math>X\ne\varnothing</math> 위의 [[공관계]]는 (유일한 유형의) 반사관계가 아닌 대칭관계이자 추이관계이다. * 부등호 기호 <math>\le</math>는 동치관계가 아니다. 반사적(<math>a \le a</math>), 추이적(<math>a \le b \le c</math>이면 <math>a \le c</math>)이지만, 대칭적이지는 않다. * [[실수]] 집합 위의 순서 관계 <math>x\le y</math>는 대칭관계가 아닌 반사관계이자 추이관계이다. * 실수 집합 위의 이항관계 <math>x^2=y^2</math>은 추이관계가 아닌 반사관계이자 대칭관계이다. == 성질 == 집합 위의 동치관계와 그 [[집합의 분할]] 사이에는 자연적인 [[일대일 대응]]이 존재한다. * 집합 <math>X</math> 위의 동치관계 <math>\sim</math>이 주어지면, 그 몫집합 <math>X/{\sim}</math>은 <math>X</math>의 분할이다. 즉, 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x\sim y</math>이면, <math>[x]=[y]</math> 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x\not\sim y</math>이면, <math>[x]\cap[y]=\varnothing</math> * 집합 <math>X</math>의 분할 <math>P</math>가 주어지면, 이항관계 <math>\exists A\in P\colon x,y\in A</math>는 <math>X</math> 위의 동치관계이다. == 같이 보기 == * [[집합의 분할]] == 바깥 고리 ==

동치 관계: 두 판 사이의 차이