순서수: 두 판 사이의 차이
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[[형 이론]]이나 [[윌러드 밴 오먼 콰인]]의 [[새 기초]](New Foundations)등에서는 이 정의가 문제가 되지 않는다. 이 정의는 [[형 이론]]을 사용하는 《[[수학 원리]]》에 등장한다.
=== 폰 노이만 정의===
집합론적 문제를 피하기 위해, [[정렬 집합]]의 순서 동형 동치류의 대표원을 다음과 같이 고를 수 있다. 이 정의는 [[존 폰 노이만]]이 제시하였고,<ref name="vN">{{저널 인용|last=von Neumann|first=Johann|authorlink=존 폰 노이만|날짜=1923|title=Zur Einführung der trasfiniten Zahlen|journal=Acta Scientiarum Mathematicarum Universitatis Szegediensis|publisher=|쪽=199–208|권=1|호=4|url=http://acta.fyx.hu/acta/showCustomerArticle.action?id=4981&dataObjectType=article|언어=de}}</ref> 오늘날 표준적인 정의다. [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]를 가정하면, [[추이적 집합]] <math>S</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[추이적 집합]]을 '''순서수'''라고 한다.
* <math>(S,\subseteq)</math>는 [[전순서 집합]]을 이룬다.
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* <math>\alpha + 0 = \alpha</math>
* <math>\alpha + (\beta +1 ) = (\alpha + \beta ) + 1</math>
* <math>\alpha + \beta = \bigcup_{\gamma<\beta} \alpha + \gamma</math> (<math>\beta
=== 곱셈 ===
[[곱집합]] <math>
폰 노이만 정의에서, 순서수의 곱은 마찬가지로 다음과 같이 [[초한 귀납법]]으로 정의할 수도 있다.
* <math>\alpha 0 =0 </math>
* <math>\alpha(\beta +1 ) = \alpha\beta + \alpha</math>
* <math>\alpha\beta = \bigcup_{\gamma<\beta} \alpha \gamma</math> (<math>\beta
=== 거듭제곱 ===
[[직합]]
:<math>S^{\oplus T}=\left\{x\in\prod_{i\in T}S\colon|\{i\in T\colon x_i\ne0\}|<\Aleph_0\right\}</math>
에 [[사전식 순서]]를 주자. 그렇다면 순서수의 '''거듭제곱''' <math>\alpha^\beta</math>는 <math>S^T</math>의 순서형이다.
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== 성질 ==
폰 노이만 정의에서, 순서수 <math>\alpha</math>의 원소 <math>\beta\in\alpha</math>는 여전히 순서수이다.
순서수의 집합 <math>S\subset\operatorname{Ord}</math>의 합집합 <math>\bigcup S</math>은 여전히 순서수이며, 이는 <math>S</math>의 [[상한]]이다. 만약 <math>S\ne\varnothing</math>이라면, 교집합 <math>\bigcap S</math> 역시 순서수이며, 이는 <math>S</math>의 [[최소 원소]]이다.
순서수의 집합은 일반적으로 순서수가 아니다. 순서수의 [[모임 (집합론)|모임]] <math>\operatorname{Ord}</math>은 [[고유 모임]]이며, 따라서 순서수가 아니다. 이 사실을 [[부랄리포르티 역설]]이라고 한다.
===
==== 덧셈 ====
<math>(\operatorname{Ord},+)</math>는 "[[모노이드]]"를 이룬다. 즉, 덧셈의 [[결합 법칙]]이 성립하며, 양쪽 [[항등원]] <math>0\in\operatorname{Ord}</math>이 존재한다. (물론, <math>\operatorname{Ord}</math>는 집합이 아니므로 엄밀히 말해 [[모노이드]]가 될 수 없다.)
* ([[결합 법칙]]) <math>(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)</math>
* (양쪽 [[항등원]]) <math>\alpha+0=0+\alpha=\alpha</math>
그러나 이는 "[[가환 모노이드]]"가 아니다. 즉, 덧셈의 [[교환 법칙]]을 만족시키지 않는다. 예를 들어,
:<math>1+\omega=\omega<\omega+1</math>
이다.
임의의 서수 <math>\alpha,\beta,\gamma</math>에 대하여 다음이 성립한다.▼
* <math>\alpha+\beta<\alpha+\gamma</math>는 <math>\beta\le\gamma</math>와 [[동치]]이다.▼
* <math>\alpha+\beta=\alpha+\gamma</math>는 <math>\beta=\gamma</math>와 [[동치]]이다.▼
==== 곱셈 ====
<math>(\operatorname{Ord},\cdot)</math>는 "[[모노이드]]"를 이룬다. 즉, 곱셈의 [[결합 법칙]]이 성립하며, 양쪽 [[항등원]] <math>1\in\operatorname{Ord}</math>이 존재한다. (물론, <math>\operatorname{Ord}</math>는 집합이 아니므로 엄밀히 말해 [[모노이드]]가 될 수 없다.)
* ([[결합 법칙]]) <math>(\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma)</math>
* (양쪽 [[항등원]]) <math>1\alpha=\alpha1=\alpha</math>
또한, 이 "[[모노이드]]"는 0을 가지며, 오른쪽 [[분배 법칙]]이 성립한다.
* <math>\alpha0=0\alpha=0</math>
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순서수의 거듭제곱은 기수의 거듭제곱과 현저히 다르다. 예를 들어, 순서수 연산에 대해서, [[칸토어의 정리]]가 다음과 같이 성립하지 않는다.
:<math>2^\omega=\omega</math>
==== 순서 보존 ====
▲임의의 서수 <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>에 대하여 다음이 성립한다.
* <math>\alpha+\gamma<\beta+\gamma</math>이면 <math>\alpha<\beta</math>이다.
* <math>\alpha<\beta</math>이면 <math>\alpha+\gamma\le\beta+\gamma</math>이기만 하다.
비슷하게, 곱셈에 대하여 다음 성질들이 성립한다.
* <math>\alpha\beta<\alpha\gamma</math>와 <math>\beta<\gamma</math> 또는 <math>\alpha=0</math>은 [[동치]]이다.
* <math>\alpha\beta=\alpha\gamma</math>와 <math>\beta=\gamma</math> 또는 <math>\alpha=0</math>은 [[동치]]이다.
* <math>\alpha\gamma<\beta\gamma</math>이면 <math>\alpha<\beta</math>이다.
* <math>\alpha<\beta</math>이면 <math>\alpha\gamma\le\beta\gamma</math이기만 하다.
== 종류 ==
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