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를 정의할 수 있다. 이는 [[대수 구조]] 연산을 유한번 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다.
<math>\mathcal V</math>를 정의하는 대수적 관계들은 <math>T</math> 위의 [[동치 관계]] <math>\sim</math>로 생각할 수 있다. (즉, 대수적 관계에서 등장하는 변수들을 <math>S</math>의 임의의 원소들로 치환한다.) 그렇다면, <math>S</math>로부터 생성되는 자유 대수 <math>\langle S\rangle</math>는 [[몫집합]] <math>T/{\sim}</math>이다. 이 위의 대수 연산은 다음과 같다.
:<math>f_i([t_1],[t_2],\dots,[t_{n_i}])=[f_i(t_1,\dots,t_{n_i})]</math>
여기서 <math>[-]</math>은 동치 관계 <math>\sim</math>에 대한 [[동치류]]이다.
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