단조함수: 두 판 사이의 차이

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[[그림:Monotonicity example1.png|thumb|단조 증가. 강한 단조 증가는 아니다.]]
[[수학]]에서, '''단조함수단조 함수'''(單調函數, {{llang|en|monotonic function}})는 주어진 순서를 보존하는 [[함수]]이다. 진행[[기하학]]적으로, 방향이[[실수]] 항상단조 일정한함수의 함수를[[함수의 의미한다.그래프|그래프]]는 항상왼쪽에서 증가하는오른쪽으로 함수의줄곧 경우는상승하거나 '''단조증가''',줄곧 항상하강한다. [[대수학]]적으로, 감소하는단조 함수는 '''단조감소'''라고 부른다순서 집합 사이의 [[준동형]]이다.
 
== 정의 ==
수학적으로 정의하면, 단조증가하는 함수는 다음의 조건을 만족한다.
실수 [[구간]] <math>I</math>를 [[정의역]], 실수 집합 <math>\R</math>을 [[공역 (수학)|공역]]으로 하는 함수 <math>f\colon I\to\R</math>이 다음 두 조건 중 하나를 만족시키면, '''단조 함수'''라고 한다.
:<math>f: X \to Y</math>인 함수 <math>f</math>에 대해, <math>x_1, x_2 \in X, x_1 \leq x_2</math>인 모든 <math>x_1, x_2</math>에 대해 항상 <math>f(x_1) \leq f(x_2)</math>가 성립한다.
* 임의의 <math>x,y\in I</math>에 대하여, <math>x\le y</math>이면 <math>f(x)\le f(y)</math>. 이 경우, <math>f</math>를 '''증가 함수'''(增加函數, {{llang|en|increasing function}})라고 하고, <math>f</math>가 '''단조 증가'''({{llang|en|monotonically increasing}})한다고 한다.
단조감소의 경우에는 <math>f(x_1) \leq f(x_2)</math>가 아니라 <math>f(x_1) \geq f(x_2)</math>가 성립한다.
* 임의의 <math>x,y\in I</math>에 대하여, <math>x\le y</math>이면 <math>f(x)\ge f(y)</math>. 이 경우, <math>f</math>를 '''감소 함수'''(減少函數, {{llang|en|decreasing function}})라고 하고, <math>f</math>가 '''단조 감소'''({{llang|en|monotonically increasing}})한다고 한다.
만약 다음 두 조건 중 하나를 만족시키면, '''강한 단조 함수'''({{llang|en|strictly monotonic function}})라고 한다.
* 임의의 <math>x,y\in I</math>에 대하여, <math>x<y</math>이면 <math>f(x)<f(y)</math>. 이 경우, <math>f</math>를 '''강한 증가 함수'''({{llang|en|strictly increasing function}})라고 한다.
* 임의의 <math>x,y\in I</math>에 대하여, <math>x<y</math>이면 <math>f(x)<f(y)</math>. 이 경우, <math>f</math>를 '''강한 감소 함수'''({{llang|en|strictly decreasing function}})라고 한다.
즉, 단조 함수는 순서 관계 <math>\le</math>를 보존하거나 반전시키는 함수이며, 강한 단조 함수는 절대 순서 관계 <math><</math>를 보존하거나 반전시키는 함수이다. 강한 단조 함수는 단조 함수보다 강한 개념이다. 예를 들어, 단조 함수는 어떤 부분 구간에서 줄곧 상수일 수 있으나, 강한 단조 함수는 그럴 수 없다.
 
실수 부분 집합 <math>D\subset\R</math>에서 실수 집합 <math>\R</math>로 가는 함수 <math>f\colon D\to\R</math>의, 부분 구간 <math>I\subset D</math>에서의 단조성은, <math>f</math>의 <math>I</math>로의 제한 <math>f|_I</math>의 단조성을 뜻한다.
또한, '''강한 단조함수'''는 위의 정의에서 등호 조건이 빠진 것으로, 예를 들어 강한 단조증가는 다음과 같이 정의된다.
 
:<math>f: X \to Y</math>인 함수 <math>f</math>에 대해, <math>x_1, x_2 \in X, x_1 < x_2</math>인 모든 <math>x_1, x_2</math>에 대해 항상 <math>f(x_1) < f(x_2)</math>가 성립한다.
보다 일반적으로, 두 [[부분 순서 집합]] <math>(X,\le)</math>, <math>(Y,\preceq)</math>사이의 '''순서 보존 사상'''(順序保存寫像, {{llang|en|order-preserving map}})은, 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여 <math>x\le y</math>이면 <math>f(x)\preceq f(y)</math>인 함수 <math>f\colon X\to Y</math>이다. 즉, 두 부분 순서 집합 사이의 [[준동형]]이다.
일반적인 단조함수는 함수값이 증가하거나 감소하지 않는 경우(<math>x_1<x_2</math>, <math>f(x_1)=f(x_2)</math>)가 허용되지만, 강한 단조함수는 항상 증가하거나 항상 감소한다.
두 부분 순서 집합 사이의 '''순서 반전 사상'''({{llang|en|order-reversing map}})은, 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여 <math>x\le y</math>이면 <math>f(x)\succeq f(y)</math>인 함수 <math>f\colon X\to Y</math>이다. 즉, 첫번째 부분 순서 집합과, 두번째 부분 순서 집합의 역순서 집합 사이의 준동형이다.
 
== 미분과 단조성 ==
[[미분]]은 함수의 단조성을 판별하는 좋은 도구이다. 일반적으로, 단조성에 관한 다음과 같은 [[필요충분조건]]을 얻을 수 있다.
 
* 어떤 [[구간]]에서 미분가능한 함수 f가 단조증가(또는 감소)일 필요충분조건은 f'≥0(또는 f'≤0)인 것이다.<ref name="실해석학개론">{{서적 인용|공저자=Donald R. Sherbert|저자=Robert G. Bartle|제목=실해석학개론|연도=2006|출판사=범한서적|편집자=강수철 역|확인날짜=2012-02-01|isbn=897129177X|쪽=220~221}}</ref>
 
또한, 강단조성에 관해서 다음과 같은 충분조건이 성립한다.
 
* 어떤 구간에서 미분가능한 함수 f가 강증가(또는 감소)일 충분조건은 f'>0(또는 f'<0)인 것이다.<ref name="실해석학개론" />
 
미분 가능한 실수 함수 <math>f\colon D\to\R</math>와 부분 구간 <math>I\subset D</math>에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
그러나 이 경우 역은 성립하지 않는다. 예로, f(x) = x³은 강증가 함수이지만, x = 0에서 그 미분계수는 0이기 때문이다. 한편, [[연속함수]]가 아니거나 미분가능하지 않은 단조 함수도 있는데, 이 경우 그러한 성질을 갖는 곳은 다음 두 정리로 상당히 제한된다.
* 어떤<math>f</math>가 <math>I</math>에서 단조 증가할 [[구간필요 충분 조건]]에서은, 미분가능한임의의 함수<math>x\in f가I</math>에 단조증가(또는 감소)일 필요충분조건은대하여, <math>f'≥0(또는 f'≤0x)\ge0</math>인 것이다.<ref name="실해석학개론">{{서적 인용|공저자=Donald R. Sherbert|저자=Robert G. Bartle|제목=실해석학개론|연도=2006|출판사=범한서적|편집자=강수철 역|확인날짜=2012-02-01|isbn=897129177X|쪽=220~221}}</ref>
* <math>f</math>가 <math>I</math>에서 단조 감소할 [[필요 충분 조건]]은, 임의의 <math>x\in I</math>에 대하여, <math>f'(x)\le0</math>인 것이다.<ref name="실해석학개론" />
같은 <math>f</math> 및 <math>I</math>에 대하여, 강한 단조 함수에 대한 다음 성질들도 성립한다.
* <math>f</math>가 <math>I</math>에서 강한 증가 함수일 [[필요 충분 조건]]은, 임의의 <math>x\in I</math>에 대하여, <math>f'(x)\ge0</math>이며, 임의의 <math>x\in J</math>에 대하여 <math>f'(x)=0</math>인 부분 구간 <math>J\subset I</math>가 존재하지 않는 것이다.
* <math>f</math>가 <math>I</math>에서 강한 감소 함수일 [[필요 충분 조건]]은, 임의의 <math>x\in I</math>에 대하여, <math>f'(x)\le0</math>이며, 임의의 <math>x\in J</math>에 대하여 <math>f'(x)=0</math>인 부분 구간 <math>J\subset I</math>가 존재하지 않는 것이다.
특히, 만약 <math>I</math>에서 항상 <math>f'(x)>0</math>이거나, 항상 <math>f'(x)<0</math>이면, <math>f</math>는 <math>I</math>에서 강한 단조 함수이다.<ref name="실해석학개론" /> 그러나 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 함수 <math>f(x)=x^3</math>은 실수 전체에서 강한 증가 함수이지만, <math>f'(0)=0</math>이다.
 
구간 <math>I</math>에 정의된 실수 단조 함수 <math>f\colon I\to\R</math>에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
* 어떤 구간에서 단조함수의 불연속점은 많아야 [[가산집합|가산]] 개 존재한다.<ref>{{서적 인용|저자=Walter Rudin|제목=Principles of mathematical analysis|연도=1976|출판사=McGraw-Hill|위치=New York|판=3판|확인날짜=2012-02-01|isbn=007054235X|쪽=96}}</ref>
* <math>f</math>의 불연속점은 모두 [[단순 불연속점]]이다.
* ([[르베그 미분가능성 정리]]) 어떤 구간에서 단조 함수의 미분불가능점은 많아야 [[영측도]]이다.
* 어떤 구간에서 단조함수의<math>f</math>의 불연속점은 많아야 [[가산집합가산 집합|가산]] 개 존재한다개이다.<ref>{{서적 인용|저자=Walter Rudin|제목=Principles of mathematical analysis|연도=1976|출판사=McGraw-Hill|위치=New York|판=3판|확인날짜=2012-02-01|isbn=007054235X|쪽=96}}</ref>
* ([[르베그 미분가능성 정리]]) 어떤<math>f</math>의 구간에서미분 단조 함수의 미분불가능점은불가능점은 많아야 [[영측도]]이다.
이에 따라, [[연속 함수]]가 아니거나 미분 불가능한 단조 함수의 성질은 상당히 제한된다.
 
== 각주 ==
 
[[분류:함수해석학]]
[[분류:순서론]]
[[분류:실해석학]]
[[분류:함수의 유형]]