조밀 집합: 두 판 사이의 차이
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== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 부분 집합 <math>D\subseteq X</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 '''조밀 집합'''이라고 한다.
* 임의의 [[
* 임의의 [[
* <math>\operatorname{cl}(D)=X</math>. 여기서 <math>\operatorname{cl}</math>은 [[폐포 (위상수학)|폐포]]이다.
* <math>\operatorname{int}(X\setminus D)=\emptyset</math>. 여기서 <math>\operatorname{int}</math>는 [[내부 (위상수학)|내부]]이다.
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== 성질 ==
위상 공간 <math>X</math>는 스스로의 조밀 집합이다. 만약 <math>X</math>가 [[이산 공간]]이라면, 조밀 집합은 <math>X</math> 전체밖에 없다.▼
조밀성은 추이적이다. 즉, 만약 <math>X\subseteq Y\subseteq Z</math>이며, <math>X</math>가 <math>Y</math>의 조밀 집합이고 <math>Y</math>가 <math>Z</math>의 조밀 집합이라면 <math>X</math>는 <math>Z</math>의 조밀 집합이다.
=== 함의 관계 ===
모든 조밀 집합은 [[조밀한 곳이 없는 집합]]의 [[여집합]]이다. (그러나 그 역은 성립하지 않는다.) 즉, 다음 함의 관계가 성립한다.
:조밀 집합 ⇒ [[조밀한 곳이 없는 집합]]의 여집합 ⇒ [[제1 범주 집합]]의 여집합 ⇒ [[준열린집합]]
== 예 ==
위상 공간 <math>X</math>는 스스로의 조밀 집합이다.
=== 이산 공간 ===
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=== 비이산 공간 ===
만약 <math>X</math>가 [[비이산 공간]]이라면, <math>X</math>의 [[공집합]]이 아닌 모든 [[부분 집합]]은 조밀 집합이다.
=== 실수선의 조밀 집합 ===
* 유리수의 집합 <math>\mathbb Q</math>는 실수의 집합 <math>\mathbb R</math> 안의 조밀 집합이다.
* 반면, 자연수의 집합 <math>\mathbb N</math>, 정수의 집합 <math>\mathbb Z</math>는 <math>\mathbb R</math>의 조밀 집합이 아니다.
* 실수선에서, <math>[a,b)
== 참고 문헌 ==
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== 바깥 고리 ==
* {{eom|title=Dense set}}
* {{매스월드|id=Dense|title=Dense}}
* {{nlab|id=dense subspace|title=Dense subspace}}
[[분류:일반위상수학]]
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