동치 관계: 두 판 사이의 차이
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== 동치류와 몫집합 ==
집합 <math>X</math> 위에 동치관계 <math>\sim</math>이 주어졌을 때, 원소 <math>x\in X</math>의, 동치관계 <math>\sim</math>에 대한 '''동치류'''(同値類, {{llang|en|equivalence class}}) <math>[x]</math>는
:<math>[x]=\{y\in X\colon x\sim y\}</math>
집합 <math>X</math>의 <math>\sim</math>에 대한
:<math>X/{\sim}=\{[x]\colon x\in X\}</math>
== 예 ==
줄 22 ⟶ 21:
* 공집합이 아닌 집합 <math>X\ne\varnothing</math> 위의 [[공관계]]는 (유일한 유형의) 반사관계가 아닌 대칭관계이자 추이관계이다.
* [[실수]] 집합 위의 순서 관계 <math>x\le y</math>는 대칭관계가 아닌 반사관계이자 추이관계이다.
* 실수 집합 위의 이항관계 <math>|x
== 성질 ==
=== 표준 사상 ===
집합 위의 동치관계와 그 [[집합의 분할]] 사이에는 자연적인 [[일대일 대응]]이 존재한다.▼
:<math>f\colon X\to X/{\sim}</math>
** 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x\sim y</math>이면, <math>[x]=[y]</math>▼
:<math>f\colon x\mapsto[x]</math>
** 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x\not\sim y</math>이면, <math>[x]\cap[y]=\varnothing</math>▼
를 '''표준사상'''이라고 한다.
반대로, [[전사함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 이항관계
:<math>x_1\sim_f x_2\iff f(x_1)=f(x_2)\qquad(x_1,x_2\in X)</math>
는 동치관계이며, 그 몫집합은
:<math>X/{\sim}_f=\{f^{-1}(y)\colon y\in Y\}</math>
이다.
=== 집합의 분할 ===
▲집합 위의 동치관계와 그 [[집합의 분할]] 사이에는 자연적인 [[일대일 대응]]이 존재한다. 즉, 다음과 같다.
집합 <math>X</math> 위의 동치관계 <math>\sim</math>에 대하여, 그 몫집합 <math>X/{\sim}</math>은 <math>X</math>의 분할이다. 즉,
▲
반대로, 집합 <math>X</math>의 분할 <math>P</math>에 대하여, 이항관계
:<math>x\sim_P y\iff\exists A\in P\colon x,y\in A\qquad(x,y\in X)</math>
는 동치관계이다.
== 같이 보기 ==
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