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[[File:EulerPhi.svg|thumb|right|오일러 φ 함수의 그래프. φ(1)부터 φ(1000)까지의 값들을 나타낸다.]]
[[정수론]]에서, '''오일러 φ 함수'''(Euler φ 函數, {{llang|en|Euler’s phi (totient) function}})는 1부터 n까지의 양의 [[정수]] 중에 n과 [[서로소 (수론)|서로소]]인 것의 개수를 나타내는 함수이다. 양의 [[정수]] n에 대하여 정의되며, [[함수 (수학)|함수]]로는, 일반적으로 φ(n)으로 표기한다.
== 예시 ==
* 1, 2, 3, 4, 5, 6 중에, 6과 서로소인 수는 1, 5 두 개이다. 따라서, φ(6) = 2
* 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 중에, 7 이외에는 모두 7과 서로소이다. 따라서, φ(7) =6
* 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 중에, 모두 11과 서로소이다. 그러므로 11-1=10 따라서, φ(11)=10이다.
== 성질 ==
소수 ''p''의 경우 오일러 파이 함수의 값은
:<math>\varphi(p)=p-1</math>
이다. 일반적으로, <math>\varphi</math>는 [[곱셈적 함수]]다. 즉, ''m'', ''n''이 [[서로소]]인 정수일 때,
:<math>\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)</math>
이다.
임의의 수의 약수들의 파이 함수값들의 합은 원래 수와 같다. 이 공식은 [[레온하르트 오일러]]가 증명하였다.
:<math>\sum_{d|n} \varphi(d)=n</math>
만약 ''a''와 ''n''이 서로소이고 n이 자연수이면 다음이 성립한다. 이를 [[오일러의 정리]]라고 한다.
:<math>a^{\phi(n)}\equiv 1\pmod n</math>
만약 어떤 수의 소인수들을 안다면, 그 오일러 파이 함수는 다음과 같이 계산할 수 있다. 이 공식을 '''오일러 곱 공식'''({{llang|en|Euler product formula}})이라고 한다.
:<math>\varphi(n) = n \prod_{p | n }(1-1/p)</math>
== 응용 ==
오일러 파이 함수는 수학의 다양한 분야에서 등장한다. 예를 들어, [[군론]]에서는 [[순환군]] <math>\mathbb Z/n\mathbb Z</math>의 가능한 생성원(generator)의 수는 <math>\phi(n)</math>이다. 이는 <math>n</math>과 서로소인 임의의 수를 사용하여 <math>\mathbb Z/n\mathbb Z</math>를 생성할 수 있기 때문이다.
또한, 정''n''각형이 [[작도 가능한 다각형]]인지, 즉 눈금없는 자와 컴퍼스만으로 작도할 수 있는지는 <math>\phi(n)</math>이 2의 거듭제곱수인지와 [[동치]]이다. 즉,
:''n'' = 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, …
이라면
:<math>\phi(n)</math> = 1, 2, 2, 4, 2, 8, 4, …
이므로 정''n''각형을 작도할 수 있지만, 다른 값의 경우에는 작도할 수 없다. 특히, ''n''이 [[소수 (수론)|소수]]인 경우를 [[페르마 소수]]라고 한다.
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