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{{다른 뜻|구간 (신화)||가야 신화의 구간}}
[[수학]]에서, '''구간'''(區間, {{llang|en|interval}})은 주어진 두 [[실수]] (또는 무한대) 사이의 모든 실수의 [[집합]]이다.
== 정의 ==
두 실수 <math>a<b</math>가 주어졌다고 하자. 또한 양과 음의 무한대를 <math>+\infty</math>와 <math>-\infty</math>로 표기하자.
유한한 길이의 구간은 다음 중 한 가지 형태의 실수 부분 집합이다.
:<math>\begin{align}
(a,b)=\mathopen{]}a,b\mathclose{[}&=\{x\in\R:a<x<b\}\\{}
14번째 줄:
\end{align}</math>
무한한 길이의 구간은 다음 중 한 가지 형태의 실수 부분 집합이다.
:<math>\begin{align}
(a,+\infty)=\mathopen{]}a,+\infty\mathclose{[}&=\{x\in\R:a<x\}\\{}
[a,+\infty)=\mathopen{[}a,+\infty\mathclose{[}&=\{x\in\R:a\le x\}\\{}
(-\infty,b)=\mathopen{]}{-}\infty,b\mathclose{[}&=\{x\in\R:x
(-\infty,b]=\mathopen{]}{-}\infty,b\mathclose{]}&=\{x\in\R:x\le b\}
\end{align}</math>
:<math>\begin{align}(-\infty,+\infty)=\mathopen{]}{-}\infty,+\infty\mathclose{[}=\R\end{align}</math>
구간 <math>I</math>의 '''끝점'''({{llang|en|enpoint}})은 위 표현에 사용된 <math>a</math>와 <math>b</math> (또는 무한대)를 뜻한다. 이들는 구간의 실수 부분 집합으로서의 [[상한과 하한]]이다. 즉,
:<math>a=\inf I\in\R\cup\{\pm\infty\}</math>
:<math>b=\sup I\in\R\cup\{\pm\infty\}</math>
:<math>|I|=b-a=\sup_{x,y\in I}(y-x)</math>
== 예 ==
구간
:<math>[1,8)</math>
은
:<math>1\le x<8</math>
을 만족하는 실수 <math>x\in\R</math>의 집합이다. 따라서,
:<math>-3\notin[1,8)</math>
:<math>1\in[1,8)</math>
:<math>5\notin[1,8)</math>
:<math>8\notin[1,8)</math>
:<math>9.5\notin[1,8)</math>
이다. 이 구간의 두 끝점은 1과 8이며, 길이는 7이다.
== 분류 ==
구간은 다음과 같은 여러 방식으로 분류할 수 있다.
* 끝점 포함 여부에 따라, 열린 구간 · 닫힌 구간 · 반닫힌 구간으로 분류된다.
{[a,b)}&=\{x\in P:a\le x<b\}\\{}▼
* [[유계 집합]] 여부에 따라, 유한 구간 · 무한 구간으로 분류된다.
(a,*)&=\{x\in P:a<x\}\\▼
* 끝점의 크기 비교에 따라, 비퇴화 구간 · 퇴화 구간으로 분류된다.
(*,b)&=\{x\in P:x<b\}▼
구체적으로, 구간 <math>I</math>의 두 끝점을 <math>a,b\in\R\cup\{\pm\infty\}</math>(<math>a<b</math>)라고 하자.
=== 열린 구간과 닫힌 구간 ===
구간 <math>I</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>I</math>를 '''열린 구간'''({{llang|en|open interval}}) 또는 '''개구간'''(開區間)이라고 한다.
* <math>I=(a,b)</math>.
* <math>a,b\notin I</math>. 즉, 두 끝점을 포함하지 않는다. (무한대의 경우 당연히 포함하지 않는다고 간주한다.)
* 실수 부분 집합으로서 [[열린집합]]이다.
구간 <math>I</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>I</math>를 '''닫힌 구간'''({{llang|en|closed interval}}) 또는 '''폐구간'''(閉區間)이라고 한다.
* <math>I=[a,b]</math>.
* <math>a,b\in I</math>. 즉, 두 끝점을 포함한다. (무한대의 경우 당연히 포함하지 않는다고 간주한다.)
* 실수 부분 집합으로서 [[닫힌집합]]이다.
구간 <math>I</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>I</math>를 '''반닫힌 구간'''(半-, {{llang|en|half-closed interval}}) 또는 '''반열린 구간''' 또는 '''반폐구간''' 또는 '''반개구간'''이라고 한다.
* <math>I\in\{[a,b),(a,b]\}</math>.
* <math>\operatorname{card}(\{a,b\}\cap I)=1</math>. 즉, 두 끝점 가운데 하나만을 포함한다. (무한대의 경우 당연히 포함하지 않는다고 간주한다.)
* 실수 부분 집합으로서 열린집합도 닫힌집합도 아니다.
=== 유계 구간과 무계 구간 ===
구간 <math>I</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>I</math>를 '''유한 구간'''(有限區間, {{llang|en|finite interval}}) 또는 '''유계 구간'''(有界區間, {{llang|en|bounded interval}})이라고 한다.
* <math>a,b\in\R</math>. 즉, 무한대 끝점을 갖지 않는다.
* <math>|I|<+\infty</math>. 즉, 길이가 유한하다.
* 실수 부분 집합으로서 [[유계 집합]]이다.
구간 <math>I</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>I</math>를 '''무한 구간'''(無限區間, {{llang|en|infinite interval}}) 또는 '''무계 구간'''(無界區間, {{llang|en|unbounded interval}})이라고 한다.
* <math>\{a,b\}\cap\{\pm\infty\}\ne\varnothing</math>. 즉, 무한대 끝점을 갖는다.
* <math>|I|=+\infty</math>. 즉, 길이가 무한하다.
* 실수 부분 집합으로서 [[무계 집합]]이다.
=== 퇴화 구간과 비퇴화 구간 ===
실수 부분 집합 <math>I\subseteq\R</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>I</math>를 퇴화 구간({{llang|en|degenerate interval}})이라고 한다.
* <math>I=\varnothing</math>이거나, <math>\operatorname{card}I=1</math>. 즉, [[공집합]]이거나 [[한원소 집합]]이다.
* 위에서 정의한 표기를 따를 때, <math>I\in\{(a,b),[a,b],[a,b),(a,b]\}</math>이게 되는 두 실수 <math>a\ge b</math>가 존재한다.
즉, 퇴화 구간은 끝점의 크기 비교에 대한 조건에 부정을 취한, 구간 정의의 변형이다. 퇴화 구간과 구별하기 위해, 일반적인 구간을 비퇴화 구간({{llang|en|non-degenerate interval}})이라고 한다.
퇴화 구간 <math>I</math>의 길이와 분류는 다음과 같다.
* 퇴화 구간의 길이는 0이다.
* 공집합은 열린 구간이자 닫힌 구간이다. 한원소 집합은 열린 구간이 아닌 닫힌 구간이다.
* 퇴화 구간은 유한 구간이다.
== 일반화 ==
=== 확장된 실수 ===
[[확장된 실수]] <math>\R\cup\{\pm\infty\}</math>에서는 추가적으로 다음과 같은 구간들이 허용된다.
* <math>(a,+\infty]</math>
* <math>[a,+\infty]</math>
* <math>[-\infty,a)</math>
* <math>[-\infty,a]</math>
* <math>[-\infty,+\infty]</math>
* <math>(-\infty,+\infty]</math>
* <math>[-\infty,+\infty)</math>
=== 부분 순서 집합 ===
실수 구간과 비슷하게, 임의의 [[부분 순서 집합]] <math>(P,\le)</math> 위의 구간을 정의할 수 있다. 예를 들면 다음과 같다.
== 같이 보기 ==
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