"실수"의 두 판 사이의 차이

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[[파일:Number-line.gif|thumb섬네일|실수을 수직선으로 나타낸 것]]
{{수}}
 
{{다른 뜻}}
 
* 십진법 전개의 [[동치류]]. 예를 들어, 1과 [[0.999...]]는 서로 동치이다.
 
== 성질연산과 순서 ==
=== 사칙 연산사칙연산 ===
{{본문|사칙연산}}
실수 집합 위에는 덧셈 +, 뺄셈 -, 곱셈 ×, 나눗셈 ÷이 정의되어 있으며, 이들중이들 중 덧셈과 곱셈은 [[교환 법칙]], [[결합 법칙]], [[분배 법칙]]을 만족한다. 즉, 임의의 실수들에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
* <math>a+b=b+a</math>
* <math>(a+b)+c=a+(b+c)</math>
* <math>a\cdot b=b\cdot a</math>
* <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)</math>
* <math>a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c</math>
 
실수 0과 1은 사칙 연산에서 특별한 역할을 맡는다. 즉, 임의의 실수들에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
* <math>0+a=a</math>
* <math>1\cdot a=a</math>
* <math>0\cdot a=0</math>
 
실수 <math>x\in\mathbb R</math>과 그 [[반수 (수학)|반수]] <math>-x</math>를 더하면 0이다. 즉,
* <math>x+(-x)=0</math>
 
0이 아닌 실수 <math>x\in\mathbb R\setminus\{0\}</math>과 그 [[역수]] <math>\frac1x</math>를 곱하면 1이다. 즉,
* <math>x\cdot\frac1x=1</math>
 
뺄셈과 나눗셈은 다음과 같이 덧셈과 곱셈으로 귀결된다.
* <math>a-b=a+(-b)</math>
* <math>\frac ab=a\cdot \frac1b</math>
 
=== 거듭제곱과 거듭제곱근 ===
{{본문|거듭제곱|거듭제곱근}}
 
=== 순서 ===
[[구간]]은 특별한 실수 [[부분 집합]]으로서, 주어진 두 실수 사이의 실수를 원소로 갖거나, 주어진 한 실수를 시작점으로 하는 반직선에 놓인 실수를 원소로 갖는다. 예를 들어, 임의의 <math>x\in\mathbb R</math>에 대하여, 다음과 같다.
* <math>x\in(3,5)\iff3<x<5</math>
* <math>x\in[-2,10]\iff-2\le x\le10</math>
* <math>x\in(6,+\infty)\iff6<x</math>
 
퇴화 구간은 구간과 비슷한 집합으로서, 두 끝점의 순서가 정상적인 구간의 반대이다. 예를 들어, 다음과 같다.
* <math>[3,3]=\{3\}</math>
* <math>(9, 5)=\varnothing</math>
 
실수 집합은 [[아르키메데스 성질]]을 만족한다.
 
== 위상 ==
=== 위상수학적 성질 ===
실수 집합 위에는 표준적인 [[거리 공간]] · [[노름 공간]] · [[내적 공간]] · [[위상 공간]] 구조를 부여할 수 있다.
 
 
실수 부분 집합 <math>S\subseteq\mathbb R</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* [[유계 집합|유계]] [[닫힌집합]]이다.
* [[콤팩트 집합]]이다. 즉, 모든 [[열린집합|열린]] [[덮개 (위상수학)|덮개]]가 유한 부분 덮개를 갖는다.
* [[점렬 콤팩트 집합]]이다. 즉, 그 속의 모든 수열은 수렴 부분 수열을 갖는다.
* [[극한점 콤팩트 집합]]이다. 즉, 모든 무한 부분 집합이 [[극한점]]을 갖는다.
* [[유계 집합|유계]] [[닫힌집합]]이다.
사실, 모든 [[유클리드 공간]]에 대하여, 위 네 조건은 서로 동치이며, 모든 [[거리 공간]]에 대하여, 앞에 세 조건은 서로 동치이다.
 
또한, <math>S\subseteq\mathbb R</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* [[연결 공간]]이다.
* [[경로 연결 공간]]이다.
* [[호 연결 공간]]이다.
* 중간값 성질을 만족한다. 즉, 임의의 <math>a,b\in S</math>에 대하여, <math>(a,b)\subseteq S</math>이다.
* (퇴화 또는 비퇴화) [[구간]]이다.
 
== 같이 보기 ==