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알레프 수: 두 판 사이의 차이

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오류 수정(알레프의 정의는 멱집합과 무관; 제거하면 정의가 불완전해지는 내용 다시 추가; 초한수 언급은 화사첨족)
1번째 줄:
[[집합론]]에서, '''알레프 수'''(ℵ數, {{llang|en|aleph number}})는 무한 [[기수 (수학)|기수]]를 나타내는 표기법이다. [[기수 (수학)|기수]]의 [[고유 모임]]은 [[정렬 순서]]를 가지므로, 이에 따라 무한 기수를 [[순서수]]와 [[일대일 대응]]시킨다.
이것은 [[초한수]](transfinite number)이다.
 
== 정의 ==
편의상, [[체르멜로-프렝켈 집합론]] 및 [[선택 공리]]를 가정하고, [[존 폰 노이만]]의 순서수의 정의(순서수는 그보다 작은 모든 순서수의 집합)를 사용하자가정하자. 기수 <math>\kappa</math>의 '''바로 다음 기수'''({{llang|en|successor cardinal}})는 다음과 같다.
:<math>\kappa^+=\left|\inf\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\kappa<|\alpha|\}\right|</math>
[[하르톡스의 정리]]에 따라 이 [[하한]]은 항상 존재한다. 여기서 부등식은 기수의 부등식이다.
 
[[순서수]] <math>\alpha</math>에 대하여, '''알레프 수''' <math>\aleph_\alpha</math>는 다음과 같이 [[초한귀납법초한 귀납법]]으로 정의된다.
* <math>\aleph_0=|\mathbb N|</math> ([[자연수]]의 [[집합의 크기]])
* <math>\aleph_\lambda=\left|\inf\{\alpha\in\text{Ord+1}\colon\forall\beta<\lambda\colon=\aleph_\betaalpha^+<|/math> (<math>\alpha|\}\right|+1</math>는 (<math>\lambdaalpha</math>는의 [[극한따름 순서수]])
* <math>\aleph_\lambda=\left|\inf\{\alpha\in\mathrm{Ord}\colon\forall\beta<\lambda\colon\aleph_\beta<|\alpha|\}\right|</math> (<math>\lambda</math>는 [[극한 순서수]])
 
== 성질 ==
알레프 수는 [[순서수]]의 [[고유 모임]] <math>\textmathrm{Ord}</math>에서 [[기수 (수학)|기수]]의 [[고유모임]] <math>\textmathrm{Card}</math>으로 가는 "함수"이다. (물론, [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서는 [[정의역]]과 [[공역 (수학)|공역]]이 집합이 아니므로 이는 엄밀히 말해 함수가 될 수 없다.) 이는 "[[단사 함수]]"이며, 그 "[[상 (수학)|상]]"은 무한 기수이다. 따라서, 모든 순서수 <math>\alpha</math>에 대하여,
:<math>\aleph_\alpha<\kappa<\aleph_{\alpha+1}</math>
인 기수 <math>\kappa</math>는 존재하지 않는다.
 
* <math>\aleph_1 = \aleph_0</math>의 멱집합의 크기이다.
* <math>\aleph_{\alpha+1}=\aleph_\alpha^+= \aleph_a</math>의 멱집합의 크기이다.
=== 고정점 ===
기수를 순서수로서 생각할 때, 모든 순서수 <math>\alpha</math>는 알레프 수의 "[[후고정점]]"이다. 즉,
기수를 순서수로서 생각하고, <math>\aleph_\alpha</math> 대신 <math>\omega_\alpha</math>로 쓰자. 그렇다면, 항상 <math>\alpha\le\omega_\alpha</math>이다. 또한, [[고정점]]이 존재한다. 즉, <math>\alpha=\omega_\alpha</math>인 <math>\alpha</math>가 다음과 같이 존재한다.
:<math>\alpha=\sup_{nle\inaleph_\N}\overbrace{\omega_{\omega_{\ddots_{\omega}}}}^nalpha</math>
또한, 알레프 수의 "[[고정점]]"이 다음과 같이 존재한다.
:<math>\alpha=\sup_{n\in\N}\overbrace{\aleph_{\aleph_{\ddots_{\aleph_0}}}}^n</math>
 
=== 연속체 가설 ===
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/알레프_수"