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역함수 정리: 두 판 사이의 차이

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{{미적분학}}
 
[[미적분학]]에서, '''역함수 정리'''(inverse function theorem, 逆函數 定理)는 주어진 [[실해석학함수]]의 기초적인가 [[정리가역 함수]] 중 하나로, 어떤일 [[함수충분 조건]]가 주어졌을 때 그과 [[역함수]]의 [[미분도함수]]가능성 및 그를 값에구하는 대한공식을 정보를제시하는 제공한다정리이다.
 
== 일변수 공식화서술 ==
=== 일변수 함수 ===
일변수 함수에서 역함수 정리는 다음과 같이 쓸 수 있다.<ref name="김락중">Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006, 213쪽.</ref>
[[실수]] [[구간]] <math>J\ni a</math>와 함수 <math>f\colon I\to\mathbb R</math>가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* <math>f</math>는 [[연속 미분 가능 함수]]이다. 즉 도함수가 존재하며 연속이다.
* <math>f'(a)\ne0</math>
'''역함수 정리'''에 따르면 <math>f</math>가 어떤 구간 <math>a\in I\subseteq J</math>으로 제한되었을 때 연속 미분 가능 [[역함수]] <math>f^{-1}\colon f(I)\to I</math>가 존재한다. 또한 그 도함수는 다음과 같다.<ref name="Bartle">Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006, 213쪽.</ref>
:<math>(f^{-1})'(f(x))=\frac1{f'(x)}\qquad(x\in I)</math>
 
=== 다변수 함수 ===
# I가 [[실직선]] 상의 [[구간]], 함수 f:I→'''R'''이 I에서 [[단조함수|강단조]]이고 [[연속함수|연속]]이라 하자. 그러면 f의 강단조이고 연속인 역함수가 존재하여 g:f(I)→'''R'''로 쓸 수 있다.<ref>별도의 증명이 필요하나 여기서는 생략한다.</ref>
다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자.
# 만약 f가 c∈I에서 미분가능하고 f'(c)≠0이면, g는 f(c)에서 미분가능하고, <math>g'(f(c)) = \frac{1}{f'(c)}</math> 가 성립한다. 마지막 식은 <math>g'(d) = \frac{1}{f'(g(d))}</math> 와 같이 다시 쓸 수도 있다.
* [[유클리드 공간]]의 [[연결 공간|연결]] [[열린집합]]과 그 속의 점 <math>\boldsymbol a\in D\subseteq\mathbb R^n</math>
* [[함수]] <math>\boldsymbol y=\boldsymbol f(\boldsymbol x)\colon D\to\mathbb R^n</math>
이들이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* <math>\boldsymbol f\in\mathcal C^1(D;\mathbb R^n)</math>. 즉 [[연속 미분 가능 함수]]이다. 즉 편도함수가 모두 존재하며 모두 연속이다.
* <math>\det\boldsymbol J_\boldsymbol f(\boldsymbol a)\ne0</math>. 즉 <math>\boldsymbol a</math>에서 [[야코비 행렬]]이 [[가역 행렬]]이다.
임의의'''역함수 n차원정리'''에 [[유클리드따르면 공간]]에<math>\boldsymbol 대해f</math>가 역함수어떤 개념을두 생각할연결 수열린집합 있으므로<math>\boldsymbol 다변수함수에a\in 대해서도U\subseteq D</math>로 제한되었을 때 연속 미분 가능 [[역함수]] 정리가<math>\boldsymbol 일반적인f^{-1}\colon 형태로f(U)\to 존재한다.U</math>가 이는존재하며 다음과그 같이야코비 쓸행렬은 수다음과 있다같다.<ref>{{서적 인용|저자1=김락중|저자2=박종안|저자3=이춘호|저자4=최규흥|연도=2007|제목=해석학 입문|판=3|출판사=경문사|쪽=322|isbn=978-8-96-105054-8}}</ref>▼
:<math>\boldsymbol J_{\boldsymbol f^{-1}}(\boldsymbol f(\boldsymbol x))=\boldsymbol J_{\boldsymbol f}^{-1}(\boldsymbol x)\qquad(\boldsymbol x\in U)</math>
 
=== 증명 ===
=== 일변수 함수 ===
[[카라테오도리 보조정리]]를 이용하여 간단히 증명할 수 있다.<ref name="김락중Bartle" /> 먼저 f'(c)가 존재하므로 카라테오도리 보조정리에 의해 모든 x∈I에서 f(x) - f(c) = φ(x)(x-c)를 만족하는 c에서 연속이고 φ(c) = f'(c)인 함수 φ가 존재한다. 가정에서 φ(c)≠0이고 φ는 c에서 연속이므로, 모든 x∈V∩I<ref>이는 다시 구간이 된다.</ref>에 대해 φ≠0인 c의 적당한 근방 V:=(c-a, c+a)가 존재한다. 이제 g는 모든 y∈f(V∩I)에 대해 f(g(y)) = y를 만족하므로, 이상의 식에 g(y)를 대입하면,
 
* y - f(c) = f(g(y)) - f(g(f(c))) = φ(g(y))(g(y) - g(f(c))).
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함수 <math>\frac{1}{\phi \circ g}</math> 가 f(c)에서 연속이므로 카라테오도리 보조정리에 의해 g'(f(c))가 존재하고, 조건에 의해 <math>g'(f(c)) = \frac{1}{\phi(g(f(c)))} = \frac{1}{\phi(c)} = \frac{1}{f'(c)}.</math>
 
=== 다변수 공식화함수 ===
== 같이 보기 ==
▲임의의 n차원 [[유클리드 공간]]에 대해 역함수 개념을 생각할 수 있으므로 다변수함수에 대해서도 역함수 정리가 일반적인 형태로 존재한다. 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.<ref>{{서적 인용|저자1=김락중|저자2=박종안|저자3=이춘호|저자4=최규흥|연도=2007|제목=해석학 입문|판=3|출판사=경문사|쪽=322|isbn=978-8-96-105054-8}}</ref>
* [[음함수 정리]]
 
* '''R'''<sup>n</sup> 내의 [[열린집합]] V에 대해 V에서 미분가능하고 모든 [[편미분|편도함수]]가 연속인 함수 f:V→'''R'''<sup>n</sup> 가 있다. 만약 어떤 '''c'''∈V에 대해 <math>\Delta_f(\mathbf{c}) \ne 0</math> 이면(<math>\Delta_f</math>는 f의 [[야코비안]]) 열린집합 V<sub>0</sub>⊂V와 W<sub>0</sub>⊂f(V)가 존재하여 다음 셋을 만족한다.
# f의 [[정의역]]을 V<sub>0</sub>, [[공역 (수학)|공역]]을 W<sub>0</sub>로 제한하면 f는 [[전단사 함수]]이고, 여기서 역시 전단사인 역함수 g:W<sub>0</sub>→V<sub>0</sub>가 존재한다.
# g는 W<sub>0</sub>에서 미분가능하고 모든 편도함수가 연속이다.
# 모든 f('''x''')∈W<sub>0</sub>에 대하여, <math>D(g)(f(\mathbf{x})) = inv[Df(\mathbf{x})].</math> 여기서 inv(A)는 A의 [[역행렬]]을 의미한다.
 
== 각주 ==
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/역함수_정리"