"음함수 정리"의 두 판 사이의 차이

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{{미적분학}}
 
[[다변수 미적분학]]에서 '''음함수 정리'''(陰函數定理, {{llang|en|implicit function theorem}})는 하나 또는 여러 다변수 [[방정식]]이 [[음함수]]를 결정할 [[충분 조건]]을 제시하는 정리이다.
'''음함수 정리'''(the implicit function theorem, 陰函數 定理)는 [[해석학 (수학)|해석학]]의 [[정리]]로, [[음함수]] 꼴로 표현된 어떤 [[함수]]가 [[양함수]] 꼴로 표현될 수 있을 조건을 제시하는 정리이다. 일반적으로 임의의 음함수는 항상 양함수로 표현될 수 없지만, 음함수 정리의 조건을 만족하는 함수는 항상 양함수 표현이 존재하여 양함수 꼴로 손쉽게 다룰 수 있게 된다. 다만 여기서 다루는 함수는 좋은 성질을 갖는 함수, 즉 [[연속함수|연속]]적으로 [[미분]]가능한 함수에 국한된다.
 
== 공식화도입 ==
[[원 (기하)|원]]을 나타내는 방정식
n+m[[차원]] [[유클리드 공간]]의 [[열린 집합|열린]] [[부분집합]] W에 대하여 함수 F = (F<sub>1</sub>, ..., F<sub>m</sub>) : W→R<sup>m</sup>는 W 위에서 모든 [[변수]]에 대한 [[편미분|편도함수]]가 존재하고 그 편도함수들이 연속인 함수이다. 이제 어떤 '''x'''<sub>0</sub>∈R<sup>n</sup>, '''y'''<sub>0</sub>∈R<sup>m</sup>, ('''x'''<sub>0</sub>, '''y'''<sub>0</sub>)∈W에 대하여 F('''x'''<sub>0</sub>, '''y'''<sub>0</sub>) = '''0'''이라 가정하자. 만약,
: <math>x^2 + y^2 = 1</math>
이 <math>x</math>와 <math>y</math> 사이의 함수 관계를 결정할 수 있는지를 생각하자.
 
[[자연 정의역]] <math>[0,1]^2</math>에서, 방정식의 그래프는 자명하게 [[함수의 그래프]]가 아니다. 예를 들어 그래프와 직선 <math>x=0</math>은 유일하지 않은 교점 <math>(0,1)</math>과 <math>(0,-1)</math>을 갖는다. 따라서 원의 방정식은 함수 형태 <math>y=f(x)</math>로 나타낼 수 없다.
: <math>\frac{\partial(F_1, ..., F_m)}{\partial(y_1, ..., y_m)}(\mathbf{x}_0, \mathbf{y}_0) \ne 0</math>
 
점 <math>(1,0)</math> 부근에서, 방정식의 그래프는 역시 함수의 그래프가 아니다. 즉 원은 <math>(1,0)</math> 부근에 제한되었을 때 여전히 어떤 수직인 선과 유일하지 않은 교점을 갖는다. 따라서 원의 방정식은 <math>(1,0)</math> 부근에서 함수 형태 <math>y=f(x)</math>로 나타낼 수 없다.
이라면, 이 조건을 만족하는 점들이 속하는 '''x'''<sub>0</sub>의 열린 [[근방]] U⊂R<sup>n</sup>, '''y'''<sub>0</sub>의 열린 근방 V⊂R<sup>m</sup> 에 대하여 모든 변수에 대한 편도함수가 존재하고 그 편도함수들이 연속인 유일한 함수 f:U→V가 존재하여 f('''x'''<sub>0</sub>) = '''y'''<sub>0</sub>이고 모든 '''x'''∈U에 대하여 F('''x''', f('''x''')) = '''0'''을 만족한다.<ref>{{서적 인용|저자1=김락중|저자2=박종안|저자3=이춘호|저자4=최규흥|연도=2007|제목=해석학 입문|판=3|출판사=경문사|쪽=326|isbn=978-8-96-105054-8}}</ref>
 
점 <math>(0,1)</math> 부근에서, 방정식의 그래프는 함수의 그래프이다. 즉 원은 <math>(0,1)</math> 부근에 제한되었을 때 수직인 선과 여러 교점을 가지지 않는다. 따라서 원의 방정식은 <math>(0,1)</math> 부근에서 함수 형태 <math>y=f(x)</math>로 나타낼 수 있다.
== 예제 ==
간단한 이변수 함수의 예를 생각해 볼 수 있다. 다음과 같은 [[원 (기하)|원]]을 표현하는 음함수에 대하여,
 
비슷하게, <math>(\pm1,0)</math>을 제외한 원 속 모든 점 부근에서 원의 방정식은 <math>y=f(x)</math>로 나타낼 수 있다. 이에 따라, 그 두 점을 제외하면 원의 방정식은 두 갈래의 함수
: <math>x^2 + y^2 = 1</math>
:<math>y=\sqrt{1-x^2}</math>
:<math>y=-\sqrt{1-x^2}</math>
로 나뉜다.
 
음함수 정리는 어떤 방정식이 함수 형태로 나타낼 수 있을 [[충분 조건]]을 제시한다.
<math>F = x^2 + y^2 - 1</math> 으로 두면, <math>\frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0) = 2y_0</math> 이 된다. 따라서, y ≠ 0인 경우에는 이 음함수의 양함수 표현이 존재한다. 이 표현은 y = 0인 점을 포함하지 않는 임의의 y의 적당한 열린 근방을 공역으로 하는 양함수에 대하여 유일한데, 위쪽 [[반평면]]에서는 <math>y = \sqrt{1 - x^2}</math> 이고, 아래쪽 반평면에서는 <math>y = -\sqrt{1 - x^2}</math> 가 된다.
 
== 예제서술 ==
=== 단일 이변수 방정식에 대한 음함수 정리 ===
두 [[실수]] [[열린구간]] <math>K\ni a</math> 및 <math>L\ni b</math>의 [[곱집합]] <math>K\times L</math>에 정의된 실숫값 함수 <math>z=F(x,y)</math>가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* <math>F(a,b)=0</math>
* <math>F</math>는 <math>K\times L</math>에서 [[연속 미분 가능 함수]]이다. 즉 <math>x</math>와 <math>y</math>에 대한 <math>F</math>의 [[편도함수]] <math>F_x'</math>와 <math>F_y'</math>가 존재하며 둘 다 <math>K\times L</math>에서 [[연속 함수]]이다.
* <math>F_y'(a,b)\ne0</math>
'''음함수 정리'''에 따르면 어떤 두 부분 열린구간 <math>a\in I\subseteq K</math>와 <math>b\in J\subseteq L</math>의 곱집합 <math>I\times J</math>에서, 방정식
:<math>F(x,y)=0</math>
은 <math>x</math>와 <math>y</math> 사이의 [[함수]] 관계 <math>y=f(x)</math>를 결정한다. 즉 임의의 <math>x\in I</math>에 대하여, <math>F(x,y)=0</math>인 유일한 <math>y\in J</math>가 존재한다. 또한, <math>f</math>는 <math>I\times J</math>에서 [[연속 미분 가능 함수]]이며 그 [[도함수]]는 다음과 같다.
:<math>f'(x)=-\frac{F_x'(x,f(x))}{F_y'(x,f(x))}\qquad(x\in I)</math>
:<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial y}}\qquad(x\in I)</math>
 
=== 연립 다변수 방정식에 대한 음함수 정리 ===
다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자.
* [[유클리드 공간]]의 [[연결 공간|연결]] [[열린집합]]과 그 속의 점 <math>\boldsymbol a\in D\subseteq\mathbb R^n</math>
* [[유클리드 공간]]의 [[연결 공간|연결]] [[열린집합]]과 그 속의 점 <math>\boldsymbol b\in\Omega\subseteq\mathbb R^m</math>
* 함수 <math>\boldsymbol z=\boldsymbol F(\boldsymbol x,\boldsymbol y)\colon D\times\Omega\to\mathbb R^m;</math>
(따라서 <math>(\boldsymbol a,\boldsymbol b)\in D\times\Omega\subseteq\mathbb R^{n+m}</math>이다.)
 
이들이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* <math>\boldsymbol F(\boldsymbol a,\boldsymbol b)=\boldsymbol 0</math>
* <math>\boldsymbol F\in\mathcal C^1(D\times\Omega;\mathbb R^m)</math>. 즉 [[연속 미분 가능 함수]]이다. 즉 모든 변수에 대한 [[편도함수]]가 [[연속 함수]]로서 존재한다.
* <math>\det\boldsymbol J_{\boldsymbol F,\boldsymbol y}(\boldsymbol a,\boldsymbol b)\ne0</math>. 즉 <math>(\boldsymbol a,\boldsymbol b)</math>에서 <math>\boldsymbol y</math>에 대한 편도함수 행렬이 [[가역 행렬]]이다.
 
'''음함수 정리'''에 따르면 다음 조건을 만족시키는 함수 <math>\boldsymbol y=\boldsymbol f(\boldsymbol x)\colon U\to V</math>가 어떤 두 연결 열린집합 <math>\boldsymbol a\in U\subseteq D</math>와 <math>\boldsymbol b\in V\subseteq\Omega</math> 사이에 유일하게 존재한다.<ref>{{서적 인용|저자1=김락중|저자2=박종안|저자3=이춘호|저자4=최규흥|연도=2007|제목=해석학 입문|판=3|출판사=경문사|쪽=326|isbn=978-8-96-105054-8}}</ref>
* <math>\boldsymbol b=\boldsymbol f(\boldsymbol a)</math>
* 임의의 <math>\boldsymbol x\in U</math>에 대하여 <math>\boldsymbol F(\boldsymbol x,\boldsymbol f(\boldsymbol x))=0</math>
* <math>\boldsymbol f\in\mathcal C^1(U)</math>
또한 <math>f</math>의 [[야코비 행렬]]은 다음과 같다.
:<math>\boldsymbol J_\boldsymbol f(\boldsymbol x)
=-\boldsymbol J_{\boldsymbol F,\boldsymbol y}^{-1}(\boldsymbol x,\boldsymbol f(\boldsymbol x))
\boldsymbol J_{\boldsymbol F,\boldsymbol x}(\boldsymbol x,\boldsymbol f(\boldsymbol x))\qquad(\boldsymbol x\in U)</math>
:<math>\frac{\partial(y_1,y_2,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,x_2,\ldots,x_n)}
: <math>=-\left(\frac{\partial(F_1, ...F_2,\ldots, F_m)}{\partial(y_1, ...y_2,\ldots, y_m)}(\mathbfright)^{x-1}_0, \mathbf{y}_0) \ne 0</math>
\frac{\partial(F_1,F_2,\ldots,F_m)}{\partial(x_1,x_2,\ldots,x_n)}\qquad(\boldsymbol x\in U)</math>
 
== 같이 보기 ==
* [[음함수와역함수 양함수정리]]
 
== 각주 ==
* {{서적 인용|저자1=김락중|저자2=박종안|저자3=이춘호|저자4=최규흥|연도=2007|제목=해석학 입문|판=3|출판사=경문사|isbn=978-8-96-105054-8}}
 
[[분류:실해석학 정리]]
[[분류:다변수 미적분학]]
[[분류:미분학실해석학 정리]]