순환군: 두 판 사이의 차이
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[[군론]]에서, '''순환군'''(循環群, {{llang|en|cyclic group}})은 하나의
군의 원소 <math>g\in G</math>가 생성하는 '''순환군''' <math>\langle g\rangle</math>은 다음과 같다.
:<math>\langle g\rangle=\{g^n\colon n\in\mathbb Z\}\le G</math>
순환군을 생성하는 원소를 '''생성 원소'''(生成元素, {{llang|en|generating element}}) 또는 '''생성원'''(生成元, {{llang|en|generator}})이라고 한다. 유한 개의 원소의 순환군을 '''유한 순환군''', 무한 개의 원소의 순환군을 '''무한 순환군'''이라고 한다.
군의 원소 <math>g\in G</math>의 '''[[위수 (수학)|위수]]'''(位數, {{llang|en|order}})는 <math>g</math>가 생성하는 순환 부분군의 [[집합의 크기|크기]]이다. [[항등원]]이 되는 가장 작은 거듭제곱 지수와 같다. 즉,
:<math>\operatorname{ord}g=|\langle g\rangle|=\min\{n\in\mathbb N\sqcup\{\aleph_0\}\colon g^n=1\}</math>
== 분류 ==
순환군은 정수 군 또는 그 잉여류 군과 [[동형]]이다. 무한 순환군은 정수 군과 동형이며, 유한 순환군은 정수 잉여류 군과 동형이다.
:<math>\langle g\rangle\cong\begin{cases}\mathbb Z&\operatorname{ord}g=\aleph_0\\\mathbb Z/n\mathbb Z&\operatorname{ord}g=n<\aleph_0\end{cases}</math>
== 성질 ==
순환군은 항상 [[아벨 군]]이다.
순환군 <math>\langle g\rangle</math>의 부분군은 항상 순환군이다. 순환군의 부분군의 집합은 정확히 다음과 같다.
▲== 성질 ==
:<math>\begin{cases}
▲원소의 개수가 [[소수 (수론)|소수]]인 순환군은 [[단순군]]이다.
\{\langle g^n\rangle\colon n\in\mathbb N\}&\operatorname{ord}g=\aleph_0\\
\{\langle g^n\rangle\colon n\mid\operatorname{ord}g\}&\operatorname{ord}g\in\mathbb N
\end{cases}</math>
이에 따라, 무한 순환군의 부분군은 자연수와 일대일 대응하며, 유한 순환군의 부분군은 위수의 [[약수]]와 일대일 대응한다.
순환군 <math>\mathbb Z/n\mathbb Z</math> 및 <math>\mathbb Z/m\mathbb Z</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\gcd\{\operatorname{ord}g,\operatorname{ord}h\}=1</math>
* <math>\mathbb Z/n\mathbb Z\times\mathbb Z/m\mathbb Z=\mathbb Z/nm\mathbb Z</math>
* <math>\mathbb Z/n\mathbb Z\times\mathbb Z/m\mathbb Z=\mathbb Z/k\mathbb Z</math>인 <math>k\in\mathbb N</math>이 존재한다.
== 바깥 고리 ==
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