"순환군"의 두 판 사이의 차이

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[[군론]]에서, '''순환군'''(循環群, {{llang|en|cyclic group}})은 하나의 원소에원소가 의해 생성될 수 있는생성하는 [[군 (수학)|군]]이다. 그 의미는 군이 한 원소 <math>a</math>를 가지고 있고, 그 군의순환군의 모든 원소가원소는 <math>a</math>의고정된 [[거듭제곱]]의하나의 하나라는원소의 것이다.거듭제곱(가법군의 마찬가지로,경우 <math>G</math>의정수 한 원소 <math>a</math>가 <math>G</math>를 생성하는 것은 <math>a</math>를 포함하는 <math>G</math>의 유일한 [[부분군]](subgroup)이 <math>G</math> 자신일 때이다이다.
 
== 성질정의 ==
순환군을 생성하는 원소 <math>a</math>를 '''생성원'''(generator)이라고 부르며, <math>a^m</math>이 [[항등원]]이 되는 가장 작은 자연수 <math>m</math>을 그 순환군의 '''위수'''라고 정의한다.
군의 원소 <math>g\in G</math>가 생성하는 '''순환군''' <math>\langle g\rangle</math>은 다음과 같다.
:<math>\langle g\rangle=\{g^n\colon n\in\mathbb Z\}\le G</math>
순환군을 생성하는 원소를 '''생성 원소'''(生成元素, {{llang|en|generating element}}) 또는 '''생성원'''(生成元, {{llang|en|generator}})이라고 한다. 유한 개의 원소의 순환군을 '''유한 순환군''', 무한 개의 원소의 순환군을 '''무한 순환군'''이라고 한다.
 
군의 원소 <math>g\in G</math>의 '''[[위수 (수학)|위수]]'''(位數, {{llang|en|order}})는 <math>g</math>가 생성하는 순환 부분군의 [[집합의 크기|크기]]이다. [[항등원]]이 되는 가장 작은 거듭제곱 지수와 같다. 즉,
:<math>\operatorname{ord}g=|\langle g\rangle|=\min\{n\in\mathbb N\sqcup\{\aleph_0\}\colon g^n=1\}</math>
 
== 분류 ==
순환군은 정수 군 또는 그 잉여류 군과 [[동형]]이다. 무한 순환군은 정수 군과 동형이며, 유한 순환군은 정수 잉여류 군과 동형이다.
임의의 순환군은 다음의 두가지 종류의 순환군 중 하나와 반드시 [[동형사상|동형]]이다.
:<math>\langle g\rangle\cong\begin{cases}\mathbb Z&\operatorname{ord}g=\aleph_0\\\mathbb Z/n\mathbb Z&\operatorname{ord}g=n<\aleph_0\end{cases}</math>
* <math>Z = \{ \cdots, -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdots \}</math>. 이를 '''무한 순환군'''(無限循環群, {{llang|en|infinite cyclic group}})이라고 한다.
* <math>Z/nZ = \{ \bar{0}, \bar{1}, \cdots, \bar{n-1} \}</math>: 정수들의 집합을 <math>n</math>으로 나눈 나머지들의 집합.
<math>Z</math>는 원소의 개수가 무한하다. 위수는 자연수 범위에서 정의되지 않으며 이를 <math>\infty</math>로 표기하기도 한다.
 
== 성질 ==
<math>Z/nZ</math>는 [[유한군]]으로, 위수(order)는 <math>n</math>으로 원소의 개수와 동일하다.
순환군은 항상 [[아벨 군]]이다.
 
원소의원소 개수가 [[소수 (수론)|소수]]인 순환군은군은 유일하게 순환군이자 [[단순군]]이다.
<math>Z/nZ</math>의 경우, 교과서에 따라서는 <math>Z/n</math> 혹은 <math>Z_n</math>라고 표기하기도 한다. 그러나 <math>Z_n</math>의 경우, n-adic 수와 혼란을 줄 가능성이 있어서 어떤 수학자들은 이 표기에 대해서 동의하지 않기도 한다.
 
순환군 <math>\langle g\rangle</math>의 부분군은 항상 순환군이다. 순환군의 부분군의 집합은 정확히 다음과 같다.
== 성질 ==
:<math>\begin{cases}
원소의 개수가 [[소수 (수론)|소수]]인 순환군은 [[단순군]]이다.
\{\langle g^n\rangle\colon n\in\mathbb N\}&\operatorname{ord}g=\aleph_0\\
\{\langle g^n\rangle\colon n\mid\operatorname{ord}g\}&\operatorname{ord}g\in\mathbb N
\end{cases}</math>
이에 따라, 무한 순환군의 부분군은 자연수와 일대일 대응하며, 유한 순환군의 부분군은 위수의 [[약수]]와 일대일 대응한다.
 
순환군 <math>\mathbb Z/n\mathbb Z</math> 및 <math>\mathbb Z/m\mathbb Z</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\gcd\{\operatorname{ord}g,\operatorname{ord}h\}=1</math>
* <math>\mathbb Z/n\mathbb Z\times\mathbb Z/m\mathbb Z=\mathbb Z/nm\mathbb Z</math>
* <math>\mathbb Z/n\mathbb Z\times\mathbb Z/m\mathbb Z=\mathbb Z/k\mathbb Z</math>인 <math>k\in\mathbb N</math>이 존재한다.
 
== 바깥 고리 ==