2015년 11월 18일 (수) 06:24 판 편집 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 주다발 문서로 넘겨주기 태그: 넘겨주기 생성		2016년 12월 15일 (목) 16:48 판 편집 편집 취소 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 주다발에서 분리 다음 편집 →
1번째 줄: [[미분기하학]]에서, '''주접속'''(主接續, {{llang\|en\|principal bundle connection}})은 [[주다발]] 위에 정의되며, 그 [[군의 작용\|군 작용]]과 호환되는 [[에레스만 접속]]이다. 이를 통해, 주다발 위에 [[평행 이동]]과 [[곡률]]을 정의할 수 있다. ~~#넘겨주기 [[주다발]]~~ == 정의 == 다음 데이터가 주어졌다고 하자. * [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> * [[리 군]] <math>G</math>. 그 [[리 대수]]를 <math>\mathfrak g</math>라 하자. * [[매끄러운 주다발]] <math>\pi\colon P\twoheadrightarrow M</math> === 미분 형식을 통한 정의 === <math>P</math>의 '''주접속'''(主接續, {{llang\|en\|principal connection}}) <math>\omega\in\Omega^1(P;\mathfrak g)</math>는 다음과 같은 두 성질을 만족하는, <math>P</math> 위의 <math>\mathfrak g</math>값을 가진 [[1차 미분 형식]]이다. # <math>R_g</math>가 함수 <math>h\mapsto hg</math>라고 하자. 그렇다면 <math>\operatorname{Ad}(g)R_g^\omega=\omega</math>이다. (여기서 <math>R_g^</math>는 [[당김]]이고, <math>\operatorname{Ad}</math>는 [[딸림표현]]이다.) # <math>G</math>는 자연스럽게 <math>P</math>에 [[군의 작용\|작용]]한다. 이 작용을 미분하여, 리 대수의 원소 <math>\xi\in\mathfrak g</math>에 대한 [[벡터장]] <math>X_\xi</math>를 정의할 수 있다. 그렇다면 <math>\omega(X_\xi)=\xi</math>이어야 한다. 이를 이용하여 <math>G</math>가 작용하는 임의의 [[벡터 다발]]에 대하여 [[평행 운송]]을 정의할 수 있다. === 에레스만 접속을 통한 정의 === <math>P</math>의 [[에레스만 접속]] <math>H\subseteq\mathrm TP</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>H</math>를 '''주접속'''이라고 한다. :<math>\qquad H_{p\cdot g}=(\mathrm T(\cdot g))(H_p)\qquad\forall p\in P,\;g\in G</math> 여기서 * <math>\cdot g\colon\colon P\to P</math>는 <math>g</math>의 <math>P</math> 위의 오른쪽 작용이다. * <math>\mathrm T(\mathsf R_g)\colon\mathrm TP\to\mathrm TP</math>는 위 [[매끄러운 함수]]의 미분이다. 미분 형식을 통한 정의에 따른 주접속 <math>\omega\in\Omega^1(P;\mathfrak g)=\Gamma(\mathrm T^P\otimes\mathfrak g)</math>가 주어졌을 때, 이에 대응하는 에레스만 접속은 다음과 같다. 우선, 임의의 <math>m\in M</math>에 대하여, <math>G</math>의 오른쪽 작용을 생성하는 [[벡터장]]의 족을 :<math>X\colon \mathfrak g\to\Gamma(\mathrm TP)</math> :<math>X\colon x\mapsto X_x</math> 로 표기하자. 그렇다면, 위 작용이 자유롭고 추이적이므로, <math>X</math>의 [[상 (수학)\|상]]은 <math>P</math>의 [[수직 다발]] <math>\mathrm VP=\ker(\mathrm T\pi)\subseteq\mathrm TP</math>과 같으며, 이는 [[벡터 다발]]의 표준적인 동형 사상 :<math>P\times\mathfrak g\to\mathrm VP</math> 를 정의한다. (좌변은 올이 <math>\mathfrak g</math>인 자명한 벡터 다발이다.) 따라서, <math>\omega</math>를 <math>\mathrm T^P\otimes\mathrm VP</math>의 단면으로 여길 수 있으며, <math>\omega</math>는 벡터 다발 사상 :<math>\omega\colon\mathrm TP\to\mathrm VP\subseteq\mathrm TP</math> 를 정의한다. 이는 [[멱등 함수]]이며 (<math>\omega\circ\omega=\omega</math>), 따라서 그 [[핵 (수학)\|핵]]으로 완전히 명시된다. 그 핵 <math>\ker\omega\subseteq\mathrm TP</math>은 에레스만 접속이다. === 곡률 === 주접속의 '''곡률'''(曲率, {{llang\|en\|curvature}}) <math>\Omega</math>는 다음과 같다. :<math>\Omega=d\omega+\frac12[\omega\wedge\omega]</math> 여기서 <math>[\cdot\wedge\cdot]</math>는 [[리 괄호]]와 외적을 결합한 연산으로, <math>[\alpha\otimes x\wedge\beta\otimes y]=(\alpha\wedge\beta)\otimes[x,y]</math>와 같이 정의한다. == 참고 문헌 == * {{저널 인용\|저널=Annali di Matematica Pura ed Applicata\|권=43\|호=1\|연도=1957\|쪽=119–194\|doi=10.1007/BF02411907\|이름=Shoshichi\|성=Kobayaschi\|제목=Theory of connections\|zbl=0124.37604\|issn=0373-3114\|언어=en}} == 바깥 고리 == * {{웹 인용\|url=http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Connection_on_a_principal_bundle\|제목=Connection on a principal bundle\|웹사이트=The Manifold Atlas\|이름=Jost\|성=Eschenburg\|언어=en}} * {{nlab\|id=Ehresmann connection}} [[분류:올다발]] [[분류:미분기하학]]

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