2016년 12월 15일 (목) 16:49 판 편집 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 주접속을 분리 ← 이전 편집		2016년 12월 18일 (일) 14:21 판 편집 편집 취소 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 편집 요약 없음 다음 편집 →
2번째 줄: == 정의 == 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 올이 [[위상군]] <math>G</math>이고 밑이 위상 공간 <math>B</math>인 '''주다발'''은 다음 성질을 만족하는, 올이 <math>G</math>인 [[올다발]] <math>P\twoheadrightarrow B</math>과 [[군의 작용\|오른쪽 작용]] <math>P\times G\to P</math>으로 이루어진다. * [[위상 공간 (수학)\|위상 공간]] <math>X</math> * 모든 <math>g\in G</math>, <math>x\in B</math>에 대하여 <math>G_x\cdot g=G_x</math> * [[위상군]] <math>G</math> * <math>G_x\times G\to G_x</math>는 자유롭고 [[추이적 작용]]을 이룸 그렇다면, 올이 <math>G</math>이고 밑이 <math>X</math>인 '''주다발'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다. * 올이 <math>G</math>인 [[올다발]] <math>\pi\colon P\twoheadrightarrow X</math> * [[연속 함수\|연속]] [[군의 작용\|오른쪽 작용]] <math>P\times G\to P</math> 이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다. * 모든 <math>g\in G</math>, <math>p\in P</math>에 대하여, <math>\pi(p\cdot g)=\pi(p)</math>. 즉, 각 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>G</math>는 올 <math>P_x</math> 위에 [[군의 작용\|작용]]한다. * 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, [[군의 작용\|오른쪽 작용]] <math>P_x\times G\to P_x</math>는 [[정추이적 작용]]이다. 여기서 <math>P_x=\pi^{-1}(\{x\})</math>는 <math>x</math> 위의 <math>P</math>의 올이다. 두 조건 가운데 첫째 조건은 다음과 같은 가환 그림으로 표현된다. :<math> \begin{matrix} P\times G&\overset\cdot\to&P\\ {\scriptstyle\!\!\!\!\!\!\!\!\pi\times\operatorname{id}_G}\downarrow{\scriptstyle\color{White}{\pi\times\operatorname{id}_G}\!\!\!\!\!\!\!\!}&&{\!\!\!\!\scriptstyle\color{White}\pi}\downarrow\scriptstyle\pi\!\!\!\!\\ X\times G&\underset{\!\!\!\!\operatorname{proj}_1\!\!\!\!}\to&X \end{matrix}</math> 만약 줄 11 ⟶ 24: * <math>\pi\colon P\to B</math>가 [[매끄러운 함수]]이며, * <math>G</math>의 [[군의 작용\|작용]] <math>P\times G\to P</math> 역시 [[매끄러운 함수]]라면 <math>(M,G,P,\pi)</math>를 '''매끄러운 주다발'''(-主-, {{llang\|en\|smooth principal bundle}})이라고 한다. === 주다발 사상 === 줄 21 ⟶ 34: * [[연속 함수]] <math>f\colon M\to N</math> * [[연속 함수]] <math>\Phi\colon P\to Q</math> * [[연속 함수\|연속]] [[군 준동형]] <math>\phi\colon G\to H</math> 이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다. :<math>\Phi(p\cdot g)=\Phi(p)\cdot\phi(g)\qquad\forall (p,g)\in P\times G</math> 줄 34 ⟶ 47: \end{matrix}</math> 주다발 사상 <math>(f,\Phi,\phi)</math>에서, 만약 <math>M=N</math>이며, <math>f=\operatorname{id}_M</math>가 [[항등 함수]]이며, <math>\phi</math>가 [[단사 함수]]라면 (즉, [[부분군]]의 포함 사상이라면) <math>(\Phi,\phi)</math>를 '''구조군 축소'''(構造群縮小, {{llang\|en\|reduction of structure group}})라고 한다. === 주연장 === 다음 데이터가 주어졌다고 하자. * <math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> * [[리 군]] <math>G</math> * <math>X</math> 위의 매끄러운 <math>G</math>-주다발 <math>\pi\colon P\twoheadrightarrow X</math> * [[자연수]] (음이 아닌 정수) <math>0\le q\le p</math> 그렇다면, <math>P</math>의 '''<math>(p,q)</math>-주연장'''은 다음과 같은, <math>M</math> 위의 올다발이다. :<math>\mathrm W^{p,q}P=\mathrm F^pM\times_M\mathrm J^qP</math> 여기서 * <math>\mathrm F^pM</math>은 <math>M</math> 위의 <math>p</math>차 [[틀다발]]이다. 이는 <math>M</math> 위의 [[주다발]]이며, 그 올군은 <math>p</math>차 <math>n</math>차원 [[제트 군]] <math>\operatorname{Jet}(p,n)</math>이다. * <math>\mathrm J^qP</math>는 <math>P</math> 위의 <math>q</math>차 [[제트 다발]]이다. 이는 <math>P</math> 위의 [[벡터 다발]]이다. * <math>\times_M</math>은 <math>M</math> 위의 두 올다발의 곱이다. 즉, 국소적으로 <math>\mathrm W^{p,q}P</math>의 점은 다음과 같은 꼴이다. :<math>(\mathrm j_0^pf,\mathrm j_x^hg)</math> 여기서 * <math>f\colon U\to V</math>은 단사 [[매끄러운 함수]]이며, <math>0\in U\subseteq\mathbb R^n</math>은 [[열린집합]]이며, <math>x\in V\subseteq M</math> 역시 [[열린집합]]이다. * <math>\mathrm j_0^pf</math>는 <math>f</math>의, <math>0\in U</math>에서의 <math>p</math>차 [[제트 (수학)\|제트]]이다. * <math>s\colon V\to P</math>는 <math>P\restriction V</math>의 [[단면 (올다발)\|단면]]이다. 이는 <math>P</math> 위의 주다발을 이룬다. 그 올군은 :<math>\operatorname{Jet}(n,p)\rtimes\mathrm T^qG</math> 이다. 여기서 :<math>\mathrm T^qG=\{\mathrm j_0^qg\colon g\colon\mathbb R^n\to G\}</math> 이며, 그 군 연산은 다음과 같다. :<math> (\mathrm j^p_0f,\mathrm j^q_0g)(\mathrm j^p_0f',\mathrm j^q_0g') =\left(\mathrm j^p_0(f\circ f'),\mathrm j^q_0\left(\left(\mathrm g\circ f'\right)g'\right)\right) </math> 이 군은 <math>\mathrm W^{p,q}P</math> 위에 다음과 같이 오른쪽에서 [[군의 작용\|작용]]한다. :<math> (\mathrm j^p_0f,\mathrm j^q_xs) (\mathrm j^p_0f',\mathrm j^q_xg) =\left(\mathrm j^p_0(f\circ f'),\mathrm j^q_0\left(\sigma\cdot(g\cdot f'^{-1}\cdot f^{-1})\right)\right)</math> 이를 <math>P</math>의 <math>(p,q)</math>차 '''주연장'''(主延長, {{llang\|en\|principal prolongation}})이라고 한다.<ref name="KMS">{{서적 인용\|last1 = Kolář\|first1=Ivan\|last2=Michor\|first2=Peter\|last3=Slovák\|first3=Jan\|url=http://www.emis.de/monographs/KSM/kmsbookh.pdf\|title=Natural operations in differential geometry\|날짜 = 1993\|publisher = Springer-Verlag\|doi=10.1007/978-3-662-02950-3\|isbn=978-3-540-56235-1\|zbl=0782.53013\|언어=en}}</ref>{{rp\|150–151, §15.3}}<ref>{{저널 인용\|arxiv=math/0201235\|제목=Reductive ''G''-structures and Lie derivatives\|이름=Marco\|성=Godina\|이름2=Paolo\|성2=Matteucci\|doi=10.1016/S0393-0440(02)00174-2\|저널=Journal of Geometry and Physics\|권=47\|날짜=2003\|쪽=66–86\|bibcode=2003JGP....47...66G\|zbl=1035.53035\|언어=en}}</ref>{{rp\|Definition 3.4}} == 예 == 줄 48 ⟶ 95: == 응용 == 주다발의 개념은 [[위상수학]] 및 [[미분기하학]]에서 쓰이고, [[물리학]]에서도 [[일반 상대성 이론]] 및 [[게이지 이론]]을 다룰 때 쓰인다. 예를 들어, [[필바인]]의 국소적 [[로런츠 대칭]]은 올이 [[~~직교행렬~~직교군\|SO(1,3)]]인 주다발로 나타내어진다. == 참고 문헌 == 줄 54 ⟶ 101: * {{저널 인용\|저널=Annali di Matematica Pura ed Applicata\|권=43\|호=1\|연도=1957\|쪽=119–194\|doi=10.1007/BF02411907\|이름=Shoshichi\|성=Kobayaschi\|제목=Theory of connections\|zbl=0124.37604\|issn=0373-3114\|언어=en}} * {{저널 인용\|title=Topology of fibre bundles and global aspects of gauge theories\|first=Andres\|last=Collinucci\|coauthors=Alexander Wijns\|arxiv=hep-th/0611201\|bibcode=2006hep.th...11201C\|언어=en}} ~~== 관련 항목 ==~~ * [[게이지 이론]]▼ * [[벡터 다발]]▼ * [[연관 다발]]▼ == 바깥 고리 == 줄 64 ⟶ 106: * {{매스월드\|id=PrincipalBundle\|title=Principal bundle}} * {{nlab\|id=principal bundle\|title=Principal bundle}} * {{nlab\|id=principal connection\|title=Principal connection}} == 같이 보기 == ▲* [[게이지 이론]] ▲* [[벡터 다발]] ▲* [[연관 다발]] [[분류:미분기하학]]

주다발: 두 판 사이의 차이