코쥘 접속: 두 판 사이의 차이
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== 정의 ==
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의
<math>E</math> 위의 '''코쥘 접속'''은 다양하게 정의될 수 있다.
* 코쥘 접속은 [[벡터 다발]]의 [[매끄러운 단면]] 위에 작용하는 작용소로 정의될 수 있다.
* 코쥘 접속은 [[벡터 다발]]의 선형 구조와 호환되는 [[에레스만 접속]]으로 정의될 수 있다.
* 코쥘 접속은 [[벡터 값 미분 형식]] 위에 작용하는 작용소로 정의될 수 있다.
<math>M</math> 위의 '''아핀 접속'''(affine接續, {{llang|en|affine connection}})은 그 [[접다발]] <math>\mathrm TM</math> 위의 코쥘 접속이다. 아핀 접속을 갖춘 [[매끄러운 다양체]]를 '''아핀 다양체'''(affine多樣體, {{llang|en|affine manifold}})라고 한다.
=== 단면 위의 작용을 통한 정의 ===
<math>E</math> 위의 '''(코쥘) 접속''' 또는 '''공변 미분'''(共變微分, {{llang|en|covariant derivative}})은 다음 조건을 만족시키는 [[선형 변환]]
:<math>\nabla\colon\Gamma(E)\to\Gamma(\mathrm T^*M\otimes_{\mathbb R}E)</math>
이다.
* ([[곱규칙]]) 임의의 [[매끄러운 함수]] <math>f\in\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)</math> 및 [[매끄러운 단면]] <math>s\in\Gamma(E)</math>에 대하여,
*:<math>\nabla(fs)=f(\nabla s)+\mathrm df\otimes s</math>
여기서 <math>T^*M</math>은 <math>M</math>의 [[공변접다발]]이며, <math>\mathrm df\in\Gamma(\mathrm T^*M)=\Omega^1(M)</math>은 <math>f</math>의 [[외미분]]으로 얻은 [[1차 미분 형식]]이다.
이는 일반적 [[올다발]] 위의 [[에레스만 접속]]의 개념의 특수한 예이며, 접속이 벡터 다발의 선형 구조와 호환되는 경우이다.
임의의 벡터장 <math>X\in\Gamma(\mathrm TM)</math>에 대하여,
:<math>\nabla_X\colon\Gamma(E)\to\Gamma(E)</math>
:<math>\nabla_X\colon s\mapsto \langle X,\nabla s\rangle</math>
를 정의할 수 있다. 이를 <math>E</math>의 단면의 <math>X</math>방향의 '''공변 미분'''이라고 한다.
=== 에레스만 접속을 통한 정의 ===
[[벡터 다발]] <math>E
:<math>(\cdot\lambda)\colon E\to E</math>
의 미분
:<math>\mathrm T(\cdot\lambda)\colon \mathrm TE\to\mathrm TE</math>
을 생각하자. 또한, 합
:<math>(+)\colon E\times E\to E</math>
의 미분
:<math>\mathrm T(+)\colon\mathrm TE\times\mathrm TE\to\mathrm TE</math>
를 생각하자.
<math>E</math> 위의 [[에레스만 접속]] <math>H\subseteq\mathrm TE</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''코쥘 접속'''이라고 한다.
:<math>H_{\lambda e}=\left(\mathrm T(\cdot\lambda)\right)(H_e)</math>
:<math>\left(\mathrm T(+)\right)(H\times_MH)=H</math>
여기서 <math>H\times_MH\subseteq E\times_ME</math>이다.
[[에레스만 접속]]을 통한 정의와 단면 위의 작용을 통한 정의 사이의 관계는 다음과 같다. 우선,
:<math>\operatorname{proj}_{\mathrm VE}\colon \mathrm TE\to\mathrm VE=\pi^*E</math>
가 <math>H</math>를 사용한, [[수직 벡터 다발]] <math>\mathrm VE</math> 위로의 사영이라고 하자 (즉, <math>H=\ker\operatorname{proj}_{\mathrm VE}</math>). 임의의 단면 <math>s\in\Gamma(E)</math>에 대하여, 미분
:<math>\mathrm Ts\colon\mathrm TM\to\mathrm TE</math>
를 생각하자. 그렇다면, 다음을 정의하자.
:<math>\nabla\colon\mathrm TM\to s^*\mathrm VE=E</math>
:<math>\nabla s=\operatorname{proj}_H\circ\mathrm Ts</math>
그렇다면, 이는 적절한 [[곱규칙]]을 만족시켜, 후자의 정의에 해당한다.
=== 미분 형식 위의 작용을 통한 정의 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E</math> 위의 '''코쥘 접속'''
:
은 다음 조건을 만족시키는 [[실수 선형 변환]]이다.
:([[곱규칙]]) <math>\mathrm d^\nabla(\alpha\wedge\omega)=\mathrm d\alpha\wedge\omega+(-)^p\alpha\wedge\mathrm d^\nabla\omega\qquad(\alpha\in\Omega^p(M),\;\omega\in\Omega(M;E)</math>
(여기서 <math>\Omega(M;E)</math>는 [[벡터 값 미분 형식|<math>E</math>값 미분 형식]]의 공간이다.)
이러한 연산자를 '''공변 외미분'''(共變外微分, {{llang|en|covariant exterior derivative}})이라고 한다.
단면 위의 작용을 통한 정의와 미분 형식 위의 작용을 통한 정의 사이의 관계는 다음과 같다. 임의의 공변 외미분 <math>\mathrm d^\nabla\colon\Omega^\bullet(M;E)\to\Omega^{\bullet+1}(M;E)</math>가 주어졌을 때,
:<math>\
이므로,
:<math>\mathrm d^\nabla|_{\Gamma(E)}\colon\Gamma(M;E)\to\Omega^1(M;E)=\Gamma(\mathrm T^*M\otimes_{\mathbb R}E)</math>
는 단면 위에 적절한 [[곱규칙]]을 만족시킨다. 반대로, 단면 위의 작용소 <math>\nabla\colon\Gamma(E)\to\Gamma(\mathrm T^*M\otimes_{\mathbb R}E)</math>가 주어졌을 때, 미분 형식에 대한 곱규칙을 만족시키게 유일하게 확장할 수 있다.
일반적 [[외미분]]과 달리, 공변 외미분은 일반적으로 <math>\mathrm d^\nabla\circ\mathrm d^\nabla=0</math>을 만족시키지 못한다.
=== 초접속 ===
공변 외미분을 통한 정의를 <math>\mathbb Z/2</math>-등급 [[벡터 공간]](초벡터 공간)에 대하여 일반화하여, '''초접속'''(初接續, {{llang|en|superconnection}})의 개념을 정의할 수 있다.
구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* 두 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E^\pm\twoheadrightarrow M</math>. <math>E=E^+\oplus E^-</math>라고 표기하자.
그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.
* [[벡터 값 미분 형식|<math>E^\pm</math>값 미분 형식]]들의 공간 <math>\Omega^\bullet(M;E^\pm)</math>
그렇다면, <math>E^\pm</math> 위의 '''초접속'''
:<math>\mathrm d^\nabla\colon\Omega^\bullet(M;E^\pm)\to\Omega^{\bullet+1}(M;E^\mp)</math>
은 다음과 같은 [[곱규칙]]을 만족시키는 [[실수 선형 변환]]이다.<ref name="BGV">{{서적 인용 | last1=Berline | first1=Nicole | last2=Getzler | first2=Ezra | last3=Vergne | first3=Michèle | title=Heat kernels and Dirac operators | publisher=Springer-Verlag | 날짜=1992 | 총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | 권=298 | isbn= 978-3-540-20062-8 | zbl=0744.58001 | url = http://www.springer.com/us/book/9783540200628 | 언어=en}}</ref>{{rp|44, Definition 1.37}}
:<math>\mathrm d^\nabla(\alpha\wedge\omega)=(\mathrm d\alpha)\wedge\omega+(-)^p\alpha\wedge\mathrm d^\nabla\theta\qquad\forall\alpha\in\Omega^p(M),\;\omega\in\Omega(A;E^\pm)</math>
== 성질 ==
줄 57 ⟶ 92:
* 두 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>, <math>N</math>
* 그 사이의 [[매끄러운 함수]] <math>f\colon M\to N</math>
* <math>N</math> 위의 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow N</math>
* <math>E</math> 위의 코쥘 접속 <math>\nabla</math>
그렇다면, <math>f</math>를 통해 <math>M</math>위의 [[당김]] 다발 <math>f^*E</math>를 정의할 수 있다. 이 위에 당김 접속
줄 64 ⟶ 99:
:<math>f^*\nabla_X\colon f^*s\mapsto f^*(\nabla_{f_*X}s)\qquad\forall s\in\Gamma(E),\;X\in\Gamma(TM)</math>
여기서 <math>f_*X=df(X)\in\Gamma(TN)</math>는 <math>X\in\Gamma(TM)</math>의 <math>N</math>으로의 밂({{llang|en|pushforward}})이다.
=== 곡률 ===
[[벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math> 위의 코쥘 접속 <math>\nabla</math>의 '''곡률'''(曲率, {{llang|en|curvature}}) <math>F^\nabla\in\Omega^2(M;\operatorname{End}E)</math>는 다음과 같이 정의되는, <math>\operatorname{End}E\cong E\otimes E^*</math>값의 [[2차 미분 형식]]이다.
:<math>F^\nabla(X,Y)\colon s\mapsto\nabla_X\nabla_Ys-\nabla_Y\nabla_Xs-\nabla_{[X,Y]}s\qquad\forall X,Y\in\Gamma(TM),\;s\in\Gamma(E)</math>
여기서 <math>[X,Y]</math>는 벡터장의 [[리 미분]]이다. 이는 일반적 [[올다발]] 위의 [[에레스만 접속]]의 곡률의 특수한 경우이다.
곡률이 0인 코쥘 접속을 '''평탄 코쥘 접속'''(平坦Koszul接續, {{llang|en|flat Koszul connection}})이라고 한다.
아핀 접속의 곡률은 '''[[리만 곡률]]'''이라고 하며, 이는 (3,1)-[[텐서장]]으로 여길 수 있다. 또한, 아핀 접속 <math>\nabla</math>의 경우, 곡률과 더불어 '''[[비틀림 (미분기하학)|비틀림]]'''을 정의할 수 있다. 비틀림 <math>T^\nabla\in\Omega^2(M;\mathrm TM)</math>은 다음과 같다.
:<math>T^\nabla(X,Y)=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]</math>
(여기서 <math>\Omega^2(M;\mathrm TM)</math>은 [[벡터 값 미분 형식|접다발 값 2차 미분 형식]]의 공간이다.) 비틀림은 (2,1)-[[텐서장]]으로 여길 수 있다.
=== 평행 운송 ===
코쥘 접속은 [[에레스만 접속]]의 특수한 경우이므로, '''평행 운송'''({{llang|en|parallel transport}})을 정의할 수 있다. 구체적으로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math>
* <math>E</math>의 [[매끄러운 단면]] <math>s\in\Gamma(E)</math>
* <math>E</math> 위의 코쥘 접속 <math>\nabla</math>
* 매끄러운 [[곡선]] <math>\gamma\colon [0,1]\to M</math>
만약
:<math>\nabla_{\dot\gamma(t)}\sigma=0\qquad\forall t\in[0,1]</math>
이 성립한다면, <math>E</math>를 '''평행 단면'''(平行斷面, {{llang|en|parallel section}})이라고 한다. 이는 단면의 [[당김]] <math>\gamma^*s\in\Gamma(\gamma^*E)</math>의, 당겨진 접속 <math>\gamma^*\nabla</math>에 대한 공변 미분이 0이라는 것과 동치이다.
이 경우, <math>s(\gamma(1))\in E_{\gamma(1)}</math>를 <math>s(\gamma(0))\in E_{\gamma(0)}</math>의, 곡선 <math>\gamma</math>를 따른 '''평행 운송'''이라고 한다. 평행 운송은 [[선형 변환]]
:<math>\tau_\gamma\colon E_{\gamma(0)}\to E_{\gamma(1)}</math>
으로 생각할 수 있으며, 이는 벡터 공간의 [[동형]]을 이룬다. 이와 같이, 코쥘 접속은 <math>E</math>의 각 올공간들을 (주어진 경로에 따라) "이어붙이는" 것을 알 수 있다.
== 예 ==
줄 83 ⟶ 143:
=== 레비치비타 접속 ===
{{본문|레비치비타 접속}}
[[
== 역사 ==
줄 89 ⟶ 149:
1950년에 [[장루이 코쥘]]은 [[접다발]] 위의 아핀 접속의 개념을 일반화하여, 임의의 [[벡터 다발]] 위의 코쥘 접속의 현대적인 정의를 제시하였다.<ref>{{저널 인용| last = Koszul | first = J. L. | 저자고리=장루이 코쥘 | title = Homologie et cohomologie des algebres de Lie | journal = Bulletin de la Société Mathématique | volume = 78 | year = 1950 | pages = 65–127 | zbl = 0039.02901 | 언어=fr}}</ref>
초접속의 개념은 [[대니얼 퀼런]]이 도입하였다.<ref>{{저널 인용|url=http://www.math.northwestern.edu/~konter/gtrs/qsuper.pdf|제목=Superconnections and the Chern character|이름=Daniel|성=Quillen|저자고리=대니얼 퀼런|언어=en}}</ref>
== 참고 문헌 ==
줄 99 ⟶ 161:
* {{nlab|id=affine connection|title=Affine connection}}
* {{nlab|id=connection on a vector bundle|title=Connection on a vector bundle}}
* {{nlab|id=superconnection|title=Superconnection}}
* {{수학노트|title=접속 (connection)}}
줄 106 ⟶ 169:
* [[스핀 접속]]
[[분류:접속 (수학)]]
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