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교환자: 두 판 사이의 차이

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{{다른 뜻|교환자 (환론)}}
'''교환자'''(交換子, {{llang|en|commutator}})란 [[수학]]에서 어떤 [[이항연산]]에 대해 [[교환법칙]]이 성립하는지를 알려주는 [[연산자]]이다. [[환론]]과 [[군론]]에서 정의가 다르다.
[[군론]]에서, '''교환자'''(交換子, {{llang|en|commutator}})는 두 원소 사이의 [[교환 법칙]]의 실패를 측정하는 [[연산자]]이다.
 
== [[환론]]정의 ==
[[환_군 (수학)|환군]] 또는 [[결합적 대수]]의 두 원소 <math>aG</math>와의 두 원소 <math>bg,h\in G</math>에 대한의 '''교환자'''는 다음과 같이 정의된다같다.
:<math>[ ag,bh ] := abg^{-1} h^{-1} bagh</math>
이 값이 0이면 두 원소 <math>a</math>와 <math>b</math>에 대한 교환법칙이 성립한다. [[선형대수학]]에서는 어떤 [[공간]]의 [[자기준동형사상]]이 한 [[기저 (선형대수학)|기저]]에 관한 [[교환법칙]]이 성립하는 [[행렬]]들로 표현이 가능하면, 그 행렬들은 모든 기저에 의해 표현된다.
 
(일부 문헌에서는 대신 순서를 바꾸어 <math>[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}</math>로 정의하기도 한다.)
교환자를 [[리 괄호]]로 쓰면, 모든 결합적 대수는 [[리 대수]]로 바뀌게 된다.
 
=== 성질= ==▼
[[힐베르트 공간]]에서의 두 [[연산자]]에 대한 교환자는 [[양자역학]]에서 중요한 개념중의 하나인데, 연산자로 기술되는 두 [[관측가능량]]이 동시에 측정 가능한지를 알려주는 척도이기 때문이다. [[베르너 하이젠베르크|하이젠베르크]]의 [[불확정성원리]]는 이런 교환자에 대한 성질을 설명하는 원리이다.
임의의 두 원소 <math>g,h\in G</math>에 대하여, <math>gh=hg</math>일 [[필요 충분 조건]]은 <math>[g,h]=1</math>인 것이다. 즉, 임의의 군 <math>G</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[아벨 군]]이다.
* 모든 교환자가 1이다.
 
=== 성질항등식 ===
군론에서의 교환자는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.<ref>McKay,{{서적 인용|성=McKay|이름=Susan (|날짜=2000),|제목=Finite ''Finite p''-groups'', |총서=Queen Mary Maths Notes, |권=18, |출판사=University of London, [http://www.ams.org/mathscinet-getitem?|mr=1802994 MR1802994], ISBN |isbn=978-0-902480-17-9, p. 4|언어=en}}</ref>{{rp|4}} 여기서 <math>ay^x</math>라는 표기된[[켤레류|켤레 부분은원소]] <math>x^{-1} a xyx</math>를 나타낸다.▼
환론에서의 교환자는 다음과 같은 성질을 가지고 있다.
 
'''[[리 대수]] 관계'''
* <math>[A,A] = 0</math>
* <math>[A,B] = - [B,A]</math>
* <math>[A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0</math>
두 번째 관계는 [[반대칭성]]이라고 불리고, 세 번째 관계는 [[야코비 항등식]]이라고도 불린다.
 
'''다른 관계들'''
* <math> [A,BC] = [A,B]C + B[A,C]</math>
* <math> [AB,C] = A[B,C] + [A,C]B</math>
* <math> [A,BC] = [AB,C] + [CA,B]</math>
* <math> [ABC,D] = AB[C,D] + A[B,D]C + [A,D]BC</math>
* <math> [[[A,B], C], D] + [[[B,C], D], A] + [[[C, D], A], B] + [[[D, A], B], C] = [[A, C], [B, D]]</math>
 
만약 <math>A</math>가 환 <math> \scriptstyle\mathfrak{R} </math>에서의 고정된 원소이면, 첫 번째 관계는 <math> \scriptstyle B \mapsto [A,B]</math>에 의해 주어진 [[사상_(수학)|사상]] <math> \scriptstyle D_A: R \rightarrow R </math>에 대한 일종의 [[라이프니츠 규칙]]이 된다. 다시 말하면, 사상 <math>D_A</math>는 환 <math> \scriptstyle\mathfrak{R} </math>에서의 [[미분_(추상대수학)|미분]]을 정의한다.
 
또한 다음과 같은 교환자에 대한 항등식이 있다. [[베이커-캠벨-하우스도르프 공식]]의 특별한 경우로 가끔 유용하게 쓰인다.
 
*<math> e^{A}Be^{-A}=B+[A,B]+\frac{1}{2!}[A,[A,B]]+\frac{1}{3!}[A,[A,[A,B]]]+\cdots</math>
 
== [[군론]] ==
[[군 (수학)|군]] G의 두 원소 g와 h에 대한 교환자는 다음과 같이 정의된다.
:<math>[ g,h ] := g^{-1} h^{-1} gh</math>
여기서, 두 원소 <math>g</math>와 <math>h</math>에 대한 교환법칙이 성립한다는 것은 군의 동일함과 같다(즉, <math>gh = hg</math>).
<!-- It is equal to the group's identity if and only if <math>g</math> and <math>h</math> commute (i.e. if and only if <math>gh = hg</math>). -->
 
G의 [[부분군]]은 G의 '''[[교환자 부분군]]'''이라 불리는 모든 교환자에 의해 생성된다. 일반적으로 교환자의 [[집합]]은 군 연산에 대해 [[닫힘_(수학)|닫혀]]있지 않으므로 어떤 교환자의 집합에 의해 생성된 부분군을 고려할 때는 유의하자. 또한, 교환자는 [[멱영군]] 또는 [[가해군]]을 정의하는 데 쓰일 수도 있다.▼
 
위의 정의는 주로 군론에서 사용하는 정의이다. 많은 수학자들은 교환자를 다음과 같이 정의하여 사용하기도 한다.
:<math>[ g,h ] \,\equiv\, ghg^{-1} h^{-1}</math>
 
▲===성질===
▲군론에서의 교환자는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.<ref>McKay, Susan (2000), ''Finite p-groups'', Queen Mary Maths Notes, 18, University of London, [http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1802994 MR1802994], ISBN 978-0-902480-17-9, p. 4</ref> 여기서 <math>a^x</math>라 표기된 부분은 <math>x^{-1} a x</math>를 나타낸다.
* <math>x^y = x[x,y]</math>
* <math>[y,x] = [x,y]^{-1}</math>
* <math>[x y, z] = [x, z]^y \cdot [y, z]</math> and <math>[x, y z] = [x, z] \cdot [x, y]^z</math>
* <math>[x, y^{-1}] = [y, x]^{y^{-1}}</math> and <math>[x^{-1}, y] = [y, x]^{x^{-1}}</math>
* (홀-비트 항등식 {{llang|en|Hall–Witt identity}}) <math>[[x, y^{-1}], z]^y \cdot [[y, z^{-1}], x]^z \cdot [[z, x^{-1}], y]^x = 1</math> 과 <math>[[x,y],z^x][[z,x],y^z][[y,z],x^y]=1</math>
홀-비트 항등식은 환론의 [[교환자 (환론)|교환자]]의 [[야코비 항등식]]과 유사하다.
 
또한, 임의의 군에 대하여 다음이 성립한다.
여기서 마지막 성질은 [[홀-위트 항등식]]으로도 알려져 있다. 이는 환론에서의 교환자에서의 [[야코비 항등식]]과 유사한 군론에서의 항등식이다.
: <math> (xy)^2 = x^2y^2[y,x][[y,x],y]\qquad\forall x,y\in G</math>▼
 
만약 <math>G</math>의 [[교환자 부분군]]이 [[군의 중심|중심]]에 속한다면 (<math>[G,G]\le\operatorname Z(G)</math>), 다음이 추가로 성립한다.
위에서 <math>a^x</math>에 대한 정의는 주로 군 이론가들이 사용하는 정의이다. 많은 다른 수학자들은 위를 <math>xax^{-1}</math>로 정의하여 사용하기도 한다. 이는 보통 <math>{}^x a</math> 로 나타낸다. 비슷한 성질이 이 정의에서도 성립한다.
:<math>(xy)^n = x^n y^n [y,x]^{\binom{n}{2} n2}\qquad\forall x,y\in G</math>▼
 
만약=== [[교환자 부분군]]이 중심이면,===▼
A wide range of identities are used that are true modulo certain subgroups. 이는 [[가해군]]과 [[멱영군]]을 다룰 때 유용하다. 예를 들어, 어떤 의 제곱은 다음과 같이 행동한다.
{{본문|교환자 부분군}}
 
▲G의 [[부분군]]은 G의 '''[[교환자 부분군]]'''이라 불리는 모든 교환자에 의해 생성된다. 일반적으로 교환자의 [[집합]]은 군 연산에 대해 [[닫힘_(수학)|닫혀]]있지 않으므로 어떤 교환자의 집합에 의해 생성된 부분군을 고려할 때는 유의하자. 또한, 교환자는 [[멱영군]] 또는 [[가해군]]을 정의하는 데 쓰일 수도 있다.
▲: <math> (xy)^2 = x^2y^2[y,x][[y,x],y]</math>
 
▲만약 [[교환자 부분군]]이 중심이면,
 
▲:<math>(xy)^n = x^n y^n [y,x]^{\binom{n}{2}}</math>
 
이 된다.
 
== 등급환과 등급대수==
[[등급환|등급대수]](graded algebra)에서는 교환자가 동차의 성분으로 정의되는 '''차수 붙은 교환자'''로 주로 대체된다.
:<math>[\omega,\eta]_{gr} := \omega\eta - (-1)^{\deg \omega \, \deg \eta} \eta\omega</math>
 
== 미분 ==
다중의 교환자를 다루는 특별한 경우엔, 다음과 같은 [[딸림표현]]이 유용하게 사용되기도 한다.
 
: <math>\mathrm{ad}(x)(y) = [x, y]</math>
 
이 때, <math>\mathrm{ad}(x) </math>는 [[미분 (추상대수학)|미분]]이 되고 <math>\mathrm{ad}</math> 은 [[선형성|선형]] (즉, <math>\mathrm{ad}(x+y) = \mathrm{ad}(x) + \mathrm{ad}(y)</math> 이고 <math>\mathrm{ad}(\lambda x)=\lambda \mathrm{ad}(x)</math>) 이 되고, [[리 대수]] [[준동형]] (즉 <math>\mathrm{ad}([x, y])=[\mathrm{ad}(x), \mathrm{ad}(y)]</math>) 이 된다. 하지만 이는 언제나 대수 [[준동형]] (다음 항등식 <math>\mathrm{ad}(xy) = \mathrm{ad}(x)\mathrm{ad}(y)</math> 이 '''일반적으로 성립하지 않는다'''.)이 되진 않는다
 
예 :
* <math>\mathrm{ad}(x)\mathrm{ad}(x)(y) = [x,[x,y]]</math>
* <math>\mathrm{ad}(x)\mathrm{ad}(a+b)(y) = [x,[a+b,y]]</math>
 
== 같이 보기 ==
*[[반대칭성]]
*[[미분_(추상대수학)]]
*[[빙케를레 미분]]
*[[푸아송 괄호]]
*[[표준 교환 관계]]
 
== 각주참고 문헌 ==
{{각주}}
<references />
 
== 참고문헌바깥 고리 ==
* {{eom|title=Commutator}}
* Griffiths, David J. (2004), ''Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed. ed.)'', Prentice Hall, ISBN 0-13-805326-X
* {{매스월드|id=Commutator|title=Commutator}}
* Liboff, Richard L. (2002), ''Introductory Quantum Mechanics'', Addison-Wesley, ISBN 0-8053-8714-5
* {{nlab|id=group commutator|title=Group commutator}}
* McKay, Susan (2000), ''Finite p-groups'', Queen Mary Maths Notes, 18, University of London, [http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1802994 MR1802994], ISBN 978-0-902480-17-9.
* {{웹 인용|url=https://groupprops.subwiki.org/wiki/Commutator|제목=Commutator|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
 
[[분류:추상대수학]]
[[분류:군론]]
[[분류:이항연산]]
[[분류:항등식]]
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/교환자"