2015년 1월 21일 (수) 15:02 판 편집 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 잔글편집 요약 없음 ← 이전 편집		2017년 1월 14일 (토) 17:38 판 편집 편집 취소 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 편집 요약 없음 다음 편집 →
1번째 줄: [[함수해석학]]에서, '''유계 작용소'''(有界作用素, {{llang\|en\|bounded operator}})는 [[~~작용소~~유계 노름집합]]이을 ~~유한한~~항상 [[노름유계 집합]]에 대응시키는, 두 [[위상 벡터 공간]] 사이의 [[~~선형변환~~선형 변환]]이다. 두 [[노름 공간]] 사이의 경우, 유계 작용소의 개념은 [[연속 함수\|연속]] [[선형 변환]]의 개념과 일치한다. == 정의 == [[위상체]] <math>K</math> 위의 두 [[위상 벡터 공간]] <math>V</math>와, <math>W</math>가 ~~[[노름 공간]]이라고~~주어졌다고 하자. 그렇다면, ~~이들 사이의~~ <math>K</math>-[[선형 변환]] <math>T\colon V\to W</math>에 대하여 다음 두세 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[선형 변환~~]]을~~ <math>T</math>를 '''유계 작용소'''라고 한다.<ref name="Rudin">{{서적 인용 \| last=Rudin \| first=Walter \| authorlink=월터 루딘 \| 제목=Functional analysis \| publisher=McGraw-Hill \| isbn=978-0-07-054236-5 \| 날짜=1991 \| zbl=0867.46001 \| 총서=International Series in Pure and Applied Mathematics\|판=2판 \|언어=en}}</ref>{{rp\|24, §1.31}} * 임의의 [[유계 집합]]의 [[상 (수학)\|상]]은 [[유계 집합]]이다. * <math>T</math>의 '''[[작용소 노름]]''' 즉, 이는 [[유계형 집합]]의 사상을 이룬다. ~~::<math>\lVert T\rVert=\sup_{v\in V,\lVert v\rVert\ne0}\frac{\lVert Tv\rVert}{\lVert v\rVert}</math>~~ ~~:이 유한하다.~~ 이러한 유계 작용소는 항상 * <math>T</math>는 <math>V</math>와 <math>W</math>의 노름 위상에 대하여 [[연속함수]]이다. 여기서, [[위상 벡터 공간]] <math>V</math>의 부분 집합 <math>B\subseteq V</math>이 다음 조건을 만족시킨다면 [[유계 집합]]이라고 한다. <math>V</math>와 <math>W</math> 사이의 유계 작용소들의 공간은 <math>B(V,W)</math>라고 하며, 이는 [[작용소 노름]]을 통해 [[노름 공간]]을 이룬다. 만약 <math>V</math>가 [[바나흐 공간]]이라면, <math>B(V,W)</math> 역시 [[바나흐 공간]]이다. * 임의의 0의 [[근방]] <math>U\ni 0</math>에 대하여, <math>B\subseteq\alpha U</math>인 <math>\alpha\in K</math>가 존재한다. <math>V</math>와 <math>W</math> 사이의 유계 작용소들의 집합은 <math>\operatorname B(V,W)</math>라고 한다. 이는 자연스럽게 <math>K</math>-[[벡터 공간]]을 이룬다. === 균등 공간 구조 === [[위상체]] <math>K</math> 위의 두 [[위상 벡터 공간]] <math>V</math>, <math>W</math>이 주어졌을 때, * <math>V</math> 위에는 모든 [[유계 집합]]들로 구성된 [[덮개 (위상수학)\|덮개]] <math>\operatorname{Born}(V)</math>가 존재한다. * <math>W</math> 위에는 (덧셈 [[위상군]]으로서의) [[균등 공간]] 구조가 존재한다. 이에 따라, 함수 집합 <math>W^V</math> 위에 [[균등 수렴 위상]] 및 균등 구조를 부여할 수 있으며, 그 부분 집합<math>\operatorname B(V,W)\subseteq W^V</math>에도 자연스럽게 [[균등 공간]] 구조 및 위상을 부여할 수 있다. 이에 따라 <math>\operatorname B(V,W)</math>는 <math>K</math>-[[위상 벡터 공간]]을 이룬다. === 작용소 위상 === 유계 작용소의 공간 위에 균등 위상 (또는 균등 위상에 대한 [[약한 위상]]) 대신, 다음과 같은 더 [[엉성한 위상]]인 '''강한·약한 작용소 위상'''을 부여할 수도 있다. 함수 집합 <math>W^V</math>에 [[곱위상]]을 부여하면, <math>\operatorname B(V,W)\subseteq W^V</math>이므로 <Math>\operatorname B(V,W)</math>에 [[부분 공간 위상]]을 부여할 수 있다. 이를 '''강한 작용소 위상'''(強한作用素位相, {{llang\|en\|strong operator topology}})이라고 한다. 마찬가지로, <math>W</math>에 [[약한 위상]]을 부여한 것을 <math>W^{\text{weak}}</math>로 놓고, 함수 집합 <math>(W^{\text{weak}})^V</math>에 [[곱위상]]을 부여하면, [[부분 공간 위상]] <math>\operatorname B(V,W)\subseteq (W^{\text{weak}})^V</math>을 '''약한 작용소 위상'''(弱한作用素位相, {{llang\|en\|weak operator topology}})이라고 한다. 강한·약한 작용소 위상은 정의에 따라 <math>V</math>의 노름이나 위상에 의존하지 않는다. == 성질 == === 연속성과의 관계 === [[위상체]] <math>K</math> 위의 두 [[위상 벡터 공간]] <math>V</math>, <math>W</math> 사이의 모든 [[연속 함수\|연속]] <math>K</math>-[[선형 변환]]은 유계 작용소이다.<ref name="Rudin"/>{{rp\|24, Theorem 1.32}}<ref>{{서적 인용\|first=Nicolas\|last=Bourbaki\|authorlink=니콜라 부르바키\|title=Espaces vectoriels topologiques (chapitres 1 à 5)\|series=Éléments de mathématique\|publisher=Masson\|year=1981\|언어=fr}}</ref>{{rp\|III.4, Proposition III.1.4}} <div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours"> '''증명:''' <div class="mw-collapsible-content"> 연속 <math>K</math>-[[선형 변환]] <math>T\colon V\to W</math>가 주어졌다고 하자. 임의의 유계 집합 <math>B\subseteq V</math> 및 임의의 <math>0_W</math>의 근방 <math>0\in U\subseteq W</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>T^{-1}(U)</math>는 <math>0_V</math>의 [[근방]]이며, <math>B</math>가 [[유계 집합]]이므로 <math>\alpha T^{-1}(U)\supseteq B</math>가 되는 스칼라 <math>\alpha\in K</math>를 찾을 수 있다. 그렇다면 <math>\alpha U\supseteq T(B)</math>이다. 따라서 <Math>T(B)</math>는 [[유계 집합]]이다. </div></div> 만약 <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>이며, <math>V</math>와 <math>W</math>가 <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]]일 경우, 유계 작용소 · 연속 [[선형 변환]] · [[균등 연속 함수\|균등 연속]] [[선형 변환]] · [[립시츠 연속 함수\|립시츠 연속]] [[선형 변환]]의 개념이 서로 동치이다.<ref name="Rudin"/>{{rp\|24, Theorem 1.32}} (그러나 이는 일반적인 [[위상 벡터 공간]]에 대하여 성립하지 않는다.<ref>{{서적 인용\|제목=Topological vector spaces\|이름=Lawrence\|성=Narici\|이름2=Edward\|성2=Beckenstein\|판=2\|isbn=978-158488866-6\|날짜=2010\|출판사=CRC Press\|총서=Pure and Applied Mathematics\|url=https://www.crcpress.com/Topological-Vector-Spaces-Second-Edition/Narici-Beckenstein/p/book/9781584888666\|언어=en}}</ref>{{rp\|253, Example 8.8.8}}) === 작용소 노름 === {{본문\|작용소 노름}} 만약 <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>이며, <math>V</math>와 <math>W</math>가 <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]]일 경우, <math>\operatorname B(V,W)</math>는 '''[[작용소 노름]]'''을 통해 [[노름 공간]]을 이룬다.<Ref name="Rudin"/>{{rp\|92–93, Theorem 4.1}} 만약 <math>V</math>가 [[바나흐 공간]]이라면, <math>\operatorname B(V,W)</math> 역시 [[바나흐 공간]]을 이룬다.<ref name="Rudin"/>{{rp\|92–93, Theorem 4.1}} === 유계 작용소 공간 위의 위상의 관계 === 자명하게 다음과 같은 관계가 성립한다. :{\| style="text-align:center" \| 균등 수렴 위상 \|\| ⊃ \|\| 강한 작용소 위상 \|- \| ∪ \|\| \|\| ∪ \|- \| 균등 수렴 위상의 [[약한 위상]] \|\| \|\| 약한 작용소 위상 \|} 여기서 A ⊃ B는 A가 B보다 더 [[섬세한 위상]]이라는 뜻이다. [[실수체]] 또는 [[복소수체]] 위의 두 [[노름 공간]] 사이의 유계 작용소 공간의 경우, 다음이 추가로 성립한다. :{\| style="text-align:center" \| 균등 수렴 위상 \|\| ⊃ \|\| 강한 작용소 위상 \|- \| ∪ \|\| \|\| ∪ \|- \| 균등 수렴 위상의 [[약한 위상]] \|\| \|\| 약한 작용소 위상 \|} <div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours"> '''증명:''' <div class="mw-collapsible-content"> 두 노름 공간 <math>V,W</math> 사이의 작용소열 <math>T_0,T_1,\dotsc\in\operatorname B(V,W)</math> 및 <math>T_\infty\in\operatorname B(V,W)</math>가 주어졌다고 하자. 만약 <math>T_i</math>가 <math>T_\infty</math>로 약한 바나흐 위상에서 수렴할 경우, 약한 작용소 위상에서 수렴함을 보이면 족하다. 약한 바나흐 위상에서의 수렴은 다음과 같다. :<math>\forall \phi\in\operatorname B(V,W)'\colon \phi(T_i)\to \phi(T_\infty)</math> 약한 작용소 위상에서의 수렴은 다음과 같다. :<math>\forall v\in V\forall \chi\in W'\colon \chi(T_iv) \to \chi(T_\infty v)</math> 즉, 임의의 <math>(v,\chi)\in V\oplus W'</math>에 대하여, :<math>\phi_{v,\chi}\colon \operatorname B(V,W)\to K</math> :<math>\phi_{v,\chi}\colon T\mapsto \chi(Tv)</math> 를 정의하면, <math>\phi_{v,\chi}\in\operatorname B(V,W)'</math>인 것을, 즉 (<math>\operatorname B(V,W)</math>의 [[작용소 노름]] 위상에 대하여) [[유계 작용소]]인 것을 증명하면 족하다. 그런데 이는 :<math>\|\chi(Tv)\| \le \\|\chi\\| \\|Tv\\| \le \\|\chi\\| \\|T\\| \\|v\\|\qquad\forall T\in\operatorname B(V,W)</math> 이므로 :<math>\\|\phi_{v,\chi}\\|\le\\|\chi\\| \\|v\\|<\infty</math> 이다. </div></div> == 예 == 두 유한 차원 [[노름 공간]] 사이의 모든 [[선형 변환]]은 유계 작용소이다. 수열[[르베그 공간\|르베그 실수열 공간]] <math>\ell^2(\mathbb R)</math> 위의 연산자 :<math>L\colon(x_0,x_1,x_2,\dots)\mapsto(0,x_0,x_1,x_2,\dots)</math> 는 노름이 1인 유계 작용소이다. [[라플라스 연산자]] :<math>\Delta\colon\operatorname H^2(\mathbb R^n)\to L^2(\mathbb R^n)</math> 는 유계 작용소이다. 여기서 <math>\operatorname H^2</math>는 [[~~소볼레프~~하디 공간]]~~의 하나이며~~이며, <math>L^2</math>는 [[Lp 공간\|''L''<sup>p</sup> 공간]]의 하나이다. == 참고 문헌 == {{각주}} * {{서적 인용 \|성=Reed \| 이름=Michael C. \|이름2=Barry \|성2=Simon \|제목=Functional analysis \|총서=Methods of modern mathematical physics \|권=1 \|출판사=Academic Press \|날짜=1980 \|isbn=0-12-585050-6 \|zbl= 0459.46001 \|언어=en }} * {{서적 인용\|제목=Theory of Operator Algebras I\|이름=M.\|성=Takesaki\|isbn=3-540-42248-X\|언어=en}} == 바깥 고리 == * {{eom\|title=Bounded operator}} * {{eom\|title=Operator topology}} * {{매스월드\|id=BoundedOperator\|title=Bounded operator}} * {{nlab\|id=operator topology\|title=Operator topology}} [[분류:함수해석학]]

유계 작용소: 두 판 사이의 차이