경계다양체: 두 판 사이의 차이
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[[미분기하학]]에서, '''경계다양체'''(境界多樣體, {{llang|en|manifold-with-boundary}})는 국소적으로 [[유클리드 공간]] 또는 유클리드 반(半)공간에 [[위상 동형]]인 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다. [[다양체]]의 개념의 일반화이며, 다양체와 달리 "경계"를 가질 수 있다.
일부 문헌에서는 경계다양체의 개념을 단순히 "다양체"로 부르고,
== 정의 ==
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<math>n</math>차원 경계다양체 <math>X</math>의 '''경계'''(境界, {{llang|en|boundary}}) <math>\partial X\subseteq X</math>는 다음 조건을 만족시키는 점들로 구성되는 부분 집합이다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\mathbb R^n</math>의
이에 따라, <math>X\setminus\partial X</math>는 <math>n</math>차원 [[다양체]]를 이루며, <math>\partial X</math>는 <math>n-1</math>차원
=== 매끄러운 경계다양체 ===
<math>n</math>차원 경계다양체 <math>X</math> 위의 '''국소 좌표계'''({{llang|en|atlas}})는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[열린집합]]들의 족 <math>(U_i)_{i\in I}</math>
* 각 <math>i\in I</math>에 대하여, [[단사 함수|단사]] [[연속 함수]] <math>\phi_i\colon U_i\to\mathbb R^{n-1}\times\mathbb R_{\ge0}</math>. 또한, <math>\phi_i</math>는 <math>U_i</math>와 <math>\phi_i(U_i)</math> 사이의
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 임의의 <math>i,j\in I</math>에 대하여, 만약 <math>U_i\cap U_j\ne\varnothing</math>이라면, <math>\phi_j\circ\phi_i^{-1}\colon \phi_i(U_i\cap U_j)\to\phi_j(U_i\cap U_j)</math>는 [[매끄러운 함수]]이다.
줄 29 ⟶ 30:
그렇다면, [[몫공간]]
:<math>\tilde X=(X\sqcup X)/\sim</math>
은 항상 <math>n</math>차원
:<math>\tilde X\twoheadrightarrow X</math>
이 존재한다. 이 경우, <math>\tilde X</math>를 <math>X</math>의 '''이중 다양체'''(二重多樣體, {{llang|en|double manifold}})이라고 한다.
줄 38 ⟶ 39:
다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
:[[다양체]] ⇒ 경계다양체 ⇒ [[오비폴드]]
즉, 모든 다양체는 경계다양체이며, 모든 경계다양체는
== 예 ==
모든
유클리드 공간 <math>\mathbb R^n</math> 속의 [[닫힌 공]]
:<math>\operatorname{cl}\left(\operatorname{ball}(\mathbf x,r)\right)\qquad(\mathbf x\in\mathbb R^n,\;r\in\mathbb R^+)</math>
은 자연스럽게 <math>n</math>차원 매끄러운 경계다양체를 이루며, 그 경계는 <math>n-1</math>차원 [[초구]]이다. 이는
특히, <math>n=1</math>일 때, [[닫힌구간]]은 항상 경계다양체를 이룬다.
== 바깥 고리 ==
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