측지선 완비 준 리만 다양체: 두 판 사이의 차이
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:측지선 완비 ⇒ 확장 불가능 ⇐ 모든 [[연결 성분]]이 [[콤팩트 공간|콤팩트]] ⇐ [[콤팩트 공간|콤팩트]]
* 측지선 완비 준 리만 다양체이다.
* 모든 [[연결 성분]]이 [[완비 거리 공간]]이다.
* ([[하이네-보렐 정리]]) 각 [[연결 성분]] 속에서, 모든 [[유계 집합|유계]] [[닫힌집합]]이 [[콤팩트 집합]]이다.
여기서, 임의의 [[연결 공간|연결]] [[리만 다양체]] 위에는 표준적인 [[거리 함수]]를 줄 수 있는데, 위의 "[[완비 거리 공간]]" 및 "[[유계 집합]]"은 이 [[거리 함수]]에 대한 것이다.
그러나 호프-리노프 정리는 [[리만 다양체]]가 아닌 [[준 리만 다양체]]의 경우 성립하지 않는다. 예를 들어, 클리프턴-폴 원환면은 그 반례이다.
다만, [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[로런츠 다양체]]의 [[리만 곡률]]이 어디서나 0이라면, 이는 항상 측지선 완비 다양체이다.<ref>{{저널 인용|이름=Yves|성=Carrière|저널=Inventiones Mathematicae|권=95|호=3|쪽=615–628|날짜=1989|doi=10.1007/BF01393894|제목=Autour de la conjecture de L. Markus sur les variétés affines|issn=0020-9910|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|doi=10.1063/1.529706|제목=A simple proof of geodesical completeness for compact space‐times of zero curvature|이름=Ulvi|성=Urtsever|저널=Journal of Mathematical Physics|권=33|호=4|쪽=1295–1300|언어=en}}</ref>
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