측지선 완비 준 리만 다양체: 두 판 사이의 차이
내용 삭제됨 내용 추가됨
Osteologia (토론 | 기여) |
Osteologia (토론 | 기여) 편집 요약 없음 |
||
6번째 줄:
즉, 측지선 완비 준 리만 다양체는 측지선이 갑자기 끊기지 않는 [[준 리만 다양체]]이다. 예를 들어, 유클리드 공간이나 콤팩트 리만 다양체는 측지선 완비 [[리만 다양체]]이지만, [[유클리드 공간]]의 (전체 공간이 아닌) [[열린집합]]은 측지선 완비 [[리만 다양체]]가 아니다.
[[준 리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 및 임의의 점 <Math>x\in X</math>가 주어졌을 때, 초기 속도에 [[측지선]]을 대응시키는 지수 사상
:<math>\exp_x\colon\operatorname{dom}\exp_x\to M</math>
:<math>\operatorname{dom}\exp_x\subseteq \operatorname T_xM</math>
을 정의할 수 있다. 물론, [[정의역]] <math>\operatorname{dom}\exp_x</math>는 <math>0</math>의 [[근방]]을 포함한다. 측지선 완비성은 위 지수 사상이 <math>\operatorname T_xM</math> 전체에 정의될 수 있음을 뜻한다.
[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 속의 점 <math>x\in X</math>의 '''단사성 반지름'''(單射性半-, {{llang|en|injectivity radius}})은 <math>\exp_x\restriction \{v\in\mathrm T_xM\colon g(v,v)<R^2</math>가 [[단사 함수]]가 되는 <math>R</math>들의 [[상한]]이다. (물론 이 개념은 [[리만 다양체]]가 아닌 [[준 리만 다양체]]에 대하여 무의미하다.)
=== 확장 불가능성 ===
[[준 리만 다양체]] <math>(M,g)</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''확장 불가능 준 리만 다양체'''(擴張不可能準Riemann多樣體, {{llang|en|inextendable pseudo-Riemannian manifold}})라고 한다.
:임의의 연결 성분 <math>(M_i,g\restriction M_i)</math>에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 [[연결 공간|연결]] [[준 리만 다양체]] <math>(\tilde M,\tilde g)</math> 및 [[등거리 변환|등거리]] [[매장 (수학)|매장]] <math>\iota\colon(M_i,g\restriction M_i)\hookrightarrow(\tilde M,\tilde g)</math>이 존재하지 않는다.
| |||