"교대급수판정법"의 두 판 사이의 차이

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:<math>\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n = a_0 - a_1 + a_2 - \cdots</math>
 
({{수변mvar|a<sub>n</sub>}}은 항상 {{수학|≥ 0}} 또는 항상 {{수학|≤ 0}})에 대한 [[수렴판정법]]으로, 단조롭게 0으로 수렴하는 수열에 의한 교대급수는 반드시 수렴한다고 서술한다. [[고트프리트 라이프니츠]]가 제시하여 '''라이프니츠 판정법'''({{lang|en|Leibniz's test}})이라고도 불린다.
 
== 서술 ==
만약 교대급수 <math>\textstyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n</math>에서 {{수변mvar|a<sub>n</sub>}}이 [[단조감소]]하고 <math>\textstyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0</math>이면, 그 교대급수는 수렴한다.
 
또한, 급수의 합 {{수변mvar|S}}는 부분합 {{수변mvar|S<sub>N</sub>}}에 의해 {{수학|''a''<sub>''N'' + 1</sub>}} 이내의 절단오차로 근사된다.
 
:<math>|S_N - S| \le a_{N+1}</math> <ref name="김락중">{{서적 인용|저자1=김락중|저자2=박종안|저자3=이춘호|저자4=최규흥|연도=2007|장=|제목=해석학 입문|판=3|출판사=경문사|쪽=183|isbn=978-8-96-105054-8}}</ref>
:<math>S_{N+2} - S_N = (-1)^{N+1}(a_{N+1} - a_{N+2})</math>
 
{{수변mvar|a<sub>N</sub>}}이 감소하며 0으로 수렴하므로,
 
:<math>S_{2m+1} = S_{2m} - a_{2m+1} \le S_{2m}</math>
:<math>0 = \lim_{m\to\infty} a_{2m+1} = \lim_{m\to\infty} (S_{2m+1} - S_{2m})</math>
 
따라서 이들을 종합하면, [[단조수렴정리]]에 의해 {{수학|''S''<sub>2''m'' + 1</sub>}}과 {{수학|''S''<sub>2''m''</sub>}} 모두 같은 값 {{수변mvar|S}}로 수렴한다. 또한 다음이 성립한다.
 
:<math>S_1 \le S_3 \le S_5 \le \cdots \le S \le \cdots \le S_4 \le S_2 \le S_0</math>
 
부분합 근사의 오차는 {{수변mvar|N}}이 홀, 짝인 두 경우로 나눠 분석하여 얻어진다.
 
:<math>|S_{2m} - S| = S_{2m} - S \le S_{2m} - S_{2m+1} = a_{2m+1}</math>