노름 공간: 두 판 사이의 차이
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{{다른 뜻 설명|‘노름’은 [[도박]]을 뜻하는 말이기도 하다.}}
[[선형대수학]] 및 [[함수해석학]]에서, '''노름 공간'''({{llang|en|
노름 공간의 정의에서, [[하우스도르프 공간|하우스도르프 조건]]을 생각하면 '''반노름 공간'''(半norm空間, {{llang|en|seminormed space}})의 개념을 얻는다. 즉, 노름이 0인 벡터는 영벡터 밖에 없지만, '''반노름'''(半norm, {{llang|en|seminorm}})이 0인 벡터는 영벡터가 아닐 수 있다.
== 정의 ==
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]]라고 하자.
[[복소수체]]의 부분체 <math>K</math>에 대한 [[벡터 공간]] <math>V</math>의 '''반노름'''이란 다음 두 조건들을 만족시키는 [[함수]]▼
:<math>\Vert\cdot\Vert\colon V\to\mathbb R</math>▼
▲
:<math>\Vert\cdot\Vert\colon v\mapsto\Vert v\Vert</math>
이다.
* (양의 동차성) 임의의 <math>a\in K</math> 및 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>\Vert av\Vert=|a|\Vert v\Vert</math>
* ([[삼각 부등식]]) 임의의 <math>u,v\in V</math>에 대하여, <math>\Vert u+v\Vert\le\Vert u\Vert+\Vert v\Vert</math>
반노름이 주어진 <Math>\mathbb K</math>-[[벡터 공간]] <math>(V,\|\cdot\|)</math>을 '''<math>\mathbb K</math>-반노름 공간'''이라고 한다.
<math>V</math>
* (양의 정부호성) 모든 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>\Vert v\Vert=0</math>임은 <math>v=0</math>임과 [[동치]]이다.
노름이 주어진 <Math>\mathbb K</math>-[[벡터 공간]]
== 연산 ==
=== 직합 ===
<math>\mathbb K</math>-노름 공간들의 (유한 또는 무한) 족 <Math>(V_i)_{i\in I}</math>과 실수 <math>1\le p<\infty</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[직합]]
:<math>V=\bigoplus_iV_i</math>
에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.
:<math>\|(v_i)_{i\in I}\|_p=\sqrt[p]{\|v_i\|_{V_i}^p}</math>
그렇다면, <math>(V,\|\cdots\|_p)</math> 역시 노름 공간을 이룬다.
=== 하우스도르프화 ===
임의의 <Math>\mathbb K</math>-반노름 공간 <Math>(V,\|\|)</math>에 대하여, 다음과 같은 <Math>\mathbb K</math>-부분 벡터 공간을 정의하자.
:<math>N=\{v\in V\colon \|v\|=0\}</math>
그렇다면, 몫공간 <Math>V/N</math> 위에는 반노름이 잘 정의되며, 이 경우 반노름은 노름이 된다. 이러한 구성은 예를 들어 [[르베그 공간]]의 정의에 등장한다.
== 성질 ==
<math>\mathbb K</math>-반노름 공간 <math>V</math> 위에는 다음과 같은 유사 거리 함수를 부여하여 [[유사 거리 공간]]으로 만들 수 있다.
:<math>d(u,v)=\|u-v\|=\|v-u\|\qquad(u,v\in V)</math>
만약 <math>V</math>가 노름 공간이라면, 이는 [[거리 공간]]을 이룬다.
두 <math>\mathbb K</math>-반노름 공간 사이의 <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]]의 경우, [[유계 작용소]]인 것과 [[연속 함수]]인 것이 서로 [[동치]]이다.
=== 포함 관계 ===
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:{| style="text-align: center"
| <math>\mathbb K</math>-노름 공간 || ⇐ || <math>\mathbb K</math>-[[내적 공간]]
|-
| ⇑ || || ⇑
|-
| <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] || ⇐ || <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]]
|}
즉, <math>\mathbb K</math>-노름 공간 <math>(V,\|\|)</math>가 주어졌을 때,
* 만약 <math>(u,v)\mapsto(\|u+v\|-\|u-v\|)/2</math>가 <math>\mathbb K</math>-[[쌍선형 형식]]을 이루면, <math>(V,\|\|)</math>는 <Math>\mathbb K</math>-[[내적 공간]]을 이룬다.
* 만약 [[완비 거리 공간]]이라면, <math>(V,\|\|)</math>는 <Math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]을 이룬다.
* 만약 <math>(V,\|\|)</math>가 <Math>\mathbb K</math>-[[내적 공간]]이자 <Math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]이라면, <math>(V,\|\|)</math>를 <Math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]]이라고 한다.
== 예 ==
모든 벡터 공간에서 '''자명 반노름'''({{llang|en|trivial seminorm}}) <math>\Vert v\Vert=0</math>은 반노름을 이루지만, 이는 (<math>V</math>가 0차원이 아니라면) 노름을 이루지 못한다.
=== 체 ===
체 <math>\mathbb K\
=== 유클리드 공간에서의 노름 ===
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* {{매스월드|id=NormedSpace|title=Normed space}}
* {{매스월드|id=Seminorm|title=Seminorm}}
* {{nlab|id=norm}}
[[분류:선형대수학]]
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