노름 공간: 두 판 사이의 차이
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:<math>\Vert\cdot\Vert\colon V\to[0,\infty)</math>
:<math>\Vert\cdot\Vert\colon v\mapsto\Vert v\Vert</math>
이다.<ref name="Rudin"/>{{rp|25, §1.33}}
* (양의 동차성) 임의의 <math>a\in K</math> 및 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>\Vert av\Vert=|a|\Vert v\Vert</math>
* ([[삼각 부등식]]) 임의의 <math>u,v\in V</math>에 대하여, <math>\Vert u+v\Vert\le\Vert u\Vert+\Vert v\Vert</math>
반노름이 주어진 <Math>\mathbb K</math>-[[벡터 공간]] <math>(V,\|\cdot\|)</math>을 '''<math>\mathbb K</math>-반노름 공간'''이라고 한다.
<math>V</math> 위의 '''노름'''은 다음 조건을 추가로 만족시키는 반노름 <math>\Vert\cdot\Vert</math>이다.<ref name="Rudin"/>{{rp|3–4, §1.2}}
* (양의 정부호성) 모든 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>\Vert v\Vert=0</math>임은 <math>v=0</math>임과 [[동치]]이다.
노름이 주어진 <Math>\mathbb K</math>-[[벡터 공간]] <math>(V,\|\cdot\|)</math>을 '''<math>\mathbb K</math>-노름 공간'''이라고 한다.<ref name="Rudin">{{서적 인용 | last=Rudin | first=Walter | authorlink=월터 루딘 | 제목=Functional analysis | publisher=McGraw-Hill | isbn=978-0-07-054236-5 | 날짜=1991 | zbl=0867.46001 | 총서=International Series in Pure and Applied Mathematics|판=2판 |언어=en}}</ref>{{rp|3–4, §1.2}}
== 연산 ==
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=== 하우스도르프화 ===
임의의 <
:<math>N=\{v\in V\colon \|v\|=0\}</math>
그렇다면, 몫공간 <Math>V/N</math> 위에는 반노름이 잘 정의되며, 이 경우 반노름은 노름이 된다. 이러한 구성은 예를 들어 [[르베그 공간]]의 정의에 등장한다.
=== 완비화 ===
<math>\mathbb K</math>-노름 공간 <math>(V,\|\|)</math>의 ([[거리 공간]]으로서의) [[완비 거리 공간|완비화]] <Math>\bar V</math> 위에 다음과 같은 노름을 정의하자.
:<math>\|\bar v\|_{\bar V}=\lim_{i\to\infty}\|v_i\|_V\qquad(\bar v\in V)</math>
여기서 <math>(v_i)_{i\in\mathbb N}</math>는 <math>\bar v</math>로 수렴하는 [[코시 열]]이다. 이를 부여하면 <math>\bar V</math>는 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]을 이룬다.
이 경우, 자연스러운 [[단사 함수|단사]] <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환|선형]] [[등거리 변환]]
:<math>V\hookrightarrow\bar V</math>
가 존재하여, <math>V</math>를 <math>\bar V</math>의 부분 공간으로 여길 수 있다. 만약 <math>V</math>가 이미 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]이라면, 위 함수는 [[전단사 함수]]이다.
== 성질 ==
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<math>\ell^p</math> 노름 말고도 유클리드 공간 위에 수많은 노름들을 정의할 수 있다. 예를 들어, <math>\mathbb R^4</math> 위에는 다음과 같은 노름이 존재한다.
:<math>\Vert x\Vert= 2|x_1| + \sqrt{3|x_2|^2 + \max(|x_3|,2|x_4|)^2}</math>
== 참고 문헌 ==
{{각주}}
== 바깥 고리 ==
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* {{nlab|id=norm|title=Norm}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Norm_(Vector_Space)|제목=Definition: norm (vector space)|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/256623/is-a-normed-space-which-is-homeomorphic-to-a-banach-space-complete|제목=Is a normed space which is homeomorphic to a Banach space complete?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
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