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그로텐디크 군: 두 판 사이의 차이

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== 정의 ==
=== 퀼런 완전 범주 ===
'''퀼런 완전 범주'''({{llang|en|Quillen-exact category}})는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* [[가법 범주]] <math>\mathcal A</math>
* 하나의 공역이 다른 하나의 정의역이 되는 [[사상 (수학)|사상]] 순서쌍들의 모임 <Math>\mathfrak E\subseteq\{(f,g)\colon \operatorname{codom}f=\operatorname{dom}g\}</math>. 그 원소를 '''짧은 완전열'''이라고 한다. 또한, <math>\mathfrak C=\{f\colon(f,g)\in\mathfrak E\}</math>, <math>\mathfrak F=\{g\colon (f,g)\in\mathfrak E\}</math>를 정의하자.
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
* 임의의 두 대상 <math>A,b\in\mathcal A</math>의 직합에 등장하는 사상 <math>A\to A\oplus B\to B</math>는 항상 <math>\mathfrak E</math>에 속한다.
* 만약 <math>(f,g)\in\mathfrak E</math>이라면, <math>g=\ker f</math>이며 <math>f=\operatorname{coker}g</math>이다.
* 임의의 <Math>(X\overset fY\overset gZ)\in\mathfrak E</math> 및 임의의 사상 <math>W\overset h\to Z</math>에 대하여, [[당김 (범주론)|당김]] <Math>Y\times_ZW</math>가 존재하며, 사영 사상 <math>Y\times_ZW\to W</math> 역시 [[핵 (수학)|핵]]을 가지며, <math>(\ker Y\times_ZW\to W,Y\times_ZW\to W)\in\mathfrak E</math>이다. 마찬가지로 그 쌍대 공리 역시 성립한다.
 
=== 그로텐디크 군 ===
[[작은 범주|작은]] [[퀼런 완전 범주]] (예를 들어, 작은 [[아벨 범주]]) <math>\mathcal A</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 [[짧은 완전열]]
:<math>A\rightarrowtail B\twoheadrightarrow C</math>
에 대하여, 형식적 관계
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를 정의하자. 그렇다면, <math>\mathcal A</math>의 모든 원소들과 위와 같은 관계들로 생성되는 [[아벨 군]]을 <math>\mathcal A</math>의 '''그로텐디크 군'''이라고 하며, <math>\operatorname K(\mathcal A)</math>로 표기한다. (이 기호 <math>\operatorname K(-)</math>는 [[K이론]]에서 딴 것이다.)
 
=== “최소” 퀼런 완전 범주의 경우 ===
[[작은 범주|작은]] [[가법 범주]] <math>\mathcal A</math> 위에, 다음과 같은 열들만을 짧은 완전열로 하는 [[퀼런 완전 범주]] 구조를 주자.
:<math>A\to A\oplus B\to B</math>
(여기서 위의 두 사상은 [[곱 (범주론)|곱]] 및 [[쌍대곱]]의 [[보편 성질]]에 등장하는 것들이다. <math>\oplus</math>는 [[곱 (범주론)]]=[[쌍대곱]]이다.) 이는 <math>\mathcal A</math> 위에 존재하는 “최소의” (즉, 짧은 완전열을 가장 적게 갖는) [[퀼런 완전 범주]] 구조이다.
 
이 경우, <math>\mathcal A</math>의 그로텐디크 군은 보다 구체적으로 다음과 같이 정의될 수 있다.
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=== 위상 K이론 ===
{{본문|위상 K이론}}
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>라고 하자. [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math> 위의 유한 차원 <math>\mathbb K</math>-[[벡터 다발]]들의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Vect}(X)</math>를 생각하자. 이는 [[가법 범주]]이며, 그 대상(들의 동형류)들은 [[집합]]을 이룬다. 이 경우, 그 위에 최소 [[퀼런 완전 범주]] 구조를 부여하여 그로텐디크 군을 취할 수 있다. 이를 <math>X</math>의 '''<math>\mathbb K</math>-[[위상 K이론]]'''이라고 한다.
 
=== 가군 ===
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/그로텐디크_군"