"스튜던트 t 분포"의 두 판 사이의 차이

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== 정규분포에서의 추정 ==
어떤 정규분포의 [[평균]]이 <math>\mu</math>이고 [[분산]]이 <math>\sigma^2</math>일 때, 그 분포에서 n개의 표본을 추출한 것을 <math>X_1, \cdots, X_n</math>라고 표기한다. 표본평균과 표본분산은 다음과 같다.
:<math>\overline{X}_n = \frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n)</math>
:<math>S_nS^{\;2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}_n\right)^2</math>
이 값들은 실제 평균과 분산에 대한 [[불편추정값]]이다. 이때,
:<math>V = (n-1)\frac{S_nS^2}{\sigma^2}</math>
은 자유도가 <math>n-1</math>인 [[카이제곱 분포]]가 된다는 것이 Cochran 정리에 의해 알려져 있다. 또한
:<math>Z = \left(\overline{X}_n-\mu\right)\frac{\sqrt{n}}{\sigma}</math>
는 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포를 가지며, <math>V, Z</math>는 서로 독립이라는 것을 증명할 수 있다.
 
이때 <math>Z</math>에서 <math>\sigma^2</math> 대신 <math>S_nS^{\;2}</math>로 대체한 추축량(pivot quantity)은 다음과 같다.
:<math>T \equiv \frac{Z}{\sqrt{V/\nu}} = \left(\overline{X}_n-\mu\right)\frac{\sqrt{n}}{S_nS}</math>
이때 <math>T</math>에는 <math>\sigma^2</math>가 사용되지 않으므로, 이 분포는 분산을 모를 때의 평균값 <math>\mu</math>를 추정하는 데에 사용이 가능하다. 이때 <math>T</math>의 분포는 자유도 n-1인 t-분포가 된다.
 
:<math>\Pr(-A<T<A) = 0.9</math>
을 만족하는 실수 <math>A</math>는 수치적으로 계산이 가능하다. 이때,
:<math>\Pr(-A<T<A) = \Pr\left(-A < {\overline{X}_n - \mu \over S_nS/\sqrt{n}} < A \right) = \Pr\left(\overline{X}_n - A{S_nS \over \sqrt{n}} < \mu < \overline{X}_n + A{S_nS \over \sqrt{n}}\right) = 0.9</math>
이므로, [[정규분포]]의 평균은 90%의 신뢰도로 <math>\overline{X}_n\pm A\frac{S_nS}{\sqrt{n}} </math> [[신뢰구간]]에 속하게 된다.
 
== 역사 ==
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