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군 (수학): 두 판 사이의 차이

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18번째 줄:
* 군은 하나의 대상만을 갖는 [[준군]]이다. 즉, 하나의 대상만을 가지고, 모든 사상이 [[동형 사상]]인 [[범주 (수학)|범주]]이다.
* 군은 [[집합]]과 [[함수]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>에서의 [[군 대상]]이다.
* 군은 [[결합왼쪽 법칙항등원]]을 만족시키고,및 [[왼쪽 항등원역원]]을 및 모든 원소의갖는 [[왼쪽결합 역원법칙|결합]]이 존재하는 [[마그마 (수학)|마그마]]이다.
* 군은 [[결합오른쪽 법칙항등원]]을 만족시키고,및 [[오른쪽 항등원역원]]을 및 모든 원소의갖는 [[오른쪽결합 역원법칙|결합]]이 존재하는 [[마그마 (수학)|마그마]]이다.
* 군은 [[결합 법칙|결합]]을 만족시키는 [[고리 (대수학)|고리]]({{llang|en|loop}})이다.
* 군은 공집합이 아닌 [[결합 법칙|결합]]을 만족시키고, 공집합이 아닌 [[유사군]]({{llang|en|quasigroup}})이다.
{{증명 시작}}
(결합공집합이 +아닌 공집합 아님 +결합 유사군 ⇒ 결합왼쪽 +항등원 및 왼쪽 항등원역원을 +갖는 왼쪽결합 역원마그마) 원소 <math>g\in G</math>에 대하여,
:<math>g=1g</math>
인 <math>1\in G</math>가 존재하며, 임의의 <math>h\in G</math>에 대하여,
29번째 줄:
인 <math>k\in G</math>가 존재한다. 따라서, <math>1</math>은 왼쪽 항등원이다. 왼쪽 역원의 존재는 유사군의 정의에 따라 자명하다.
 
(결합 + 왼쪽 항등원 +및 왼쪽 역원역원을 갖는 결합 마그마 ⇒ 군) <math>1\in G</math>를 왼쪽 항등원이라고 하자. 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, 그 왼쪽 역원 <math>h\in G</math>와 <math>h</math>의 왼쪽 역원 <math>k\in G</math>가 존재한다. 따라서,
:<math>g1=1g1=khghg=k1hg=khg=1g=g</math>
이며,
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/군_(수학)"